martes, 25 de mayo de 2010

Problema 23 de mayo

Pues solo he hecho el A pero algo es algo.

Llamemosle X=(0,0), Y=(0,2k), Z=(k,RAIZ(3)*k) estos 3 puntos forman un equilatero.
Es conocido (Dirichlet's approximation theorem) que para cualquier numero real r existen infinitos p y q tales que |qr-p| < 1/q. (Se puede demostrar usando principio del palomar o tambien agarrando el desarrollo hasta n de la fraccion continua de r)

Podemos agarrar un q tal que q>1000, entonces |qRAIZ(3)-p|<1/q<1/1000, asi que agarremos k=q, y estara a menos de 1/1000 del punto W=(k,p) que es de coordenadas enteras. Asi si existe un triangulo equilatero asi (dehecho infinitos).

Sobre B, a posteriori he notado que si X pertenece al circulo (x_1,y_1), Y al (x_2,y_2) entonces Z esta en el circulo de radio 1/500 de centro G o de centro H, donde (x_1,y_1)(x_2,y_2)H y (x_1,y_1)(x_2,y_2)G son equilateros. Supongamos que es cierto.

Si XYZ es equilatero que cumple las condiciones con Z en G, tambien hay uno con Z en H asi que sin perdida de generalidad, Z esta en el circulo G. G esta a una distancia menor o igual a 3/1000 de un punto con coordenadas enteras, si y solo si hay un Z tal que Z esta a menos de 1/1000 de un punto con coordenadas enteras con XYZ equilatero. Asi que podemos trabajar con G,(x_1,y_1) y (x_2,y_2).

A cada punto le podemos restar (x_1,y_1) y si G,(x_1,y_1) y (x_2,y_2) funcionan, tambien los 3 nuevos puntos, asi que sin perdida de generalidad, (x_1,y_1)=(0,0)=O, y (x_2,y_2)=(a,b)=P. Sea el punto medio de OP,M=(a/2,b/2).Rotando B 90 grados por M contra las manecillas del reloj tenemos que B'=D+(-b/2,a/2)=((a-b)/2,(a+b)/2). Tenemos que MG/MB'= RAIZ(3), entonces G=M+RAIZ(3)(B'-D)=(a/2,b/2)+(-bRAIZ(3)/2,aRAIZ(3)/2)= ((a-bRAIZ(3))/2,(b+aRAIZ(3))/2).

Queremos que G este a menos de 3/1000 de un punto con coordenadas enteras. Sea T=(c,d) un punto entero mas cerca de G. Hasta aqui he llegado.

2 comentarios:

Quique12 dijo...

Esta bien tu solución del A.

Lo que me preocupa en lo que has hecho para la parte B es la rotación de 90 grados. Como sabes que los puntos siguen estando cerca de un entero al rotar 90 grados?

Diego627 dijo...

no termine la parte B, solo es un avance para mostrar lo que llevo. Lo de la rotacion es para sacar G.

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