jueves, 27 de mayo de 2010

Problema del Día: 28 de mayo

Encuentra el mayor entero positivo k, tal que el siguiente enunciado es verdadero:

Considera 2009 triángulos no degenerados dados. En cada triángulo, los tres lados se pintan, uno de azul, uno de rojo y uno de blanco. Ahora, para cada color por separado, se ordenan las longitudes de los lados y se obtiene

b_1 <= b_2 <= ...<= b_2009 las longitudes de los lados azules
r_1 <= r_2 <= ... <=r_2009 las longitudes de los lados rojos
w_1 <= w_2 <= ...<= w_2009 las longitudes de los lados blancos

Entonces existen k indices j tales que se puede formar un triángulo no degenerado con longitudes b_j, r_j, w_j.


(problema de lista corta, equivale a un problema 1 o 4 de la IMO)

10 comentarios:

rvaldez dijo...

Casi las 10 de la noche y no hay ningun comentario acerca del problema del dia de hoy 28 de mayo

IrvinG dijo...
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IrvinG dijo...

Para j=2009 es fácil probar que si existe el triángulo y según yo para j=2008 también.

IrvinG dijo...

Olviden lo de j=2008, no es cierto.

IrvinG dijo...

Ya tengo la solución, es k=1.

IrvinG dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
IrvinG dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
DANIELIMO dijo...

podemos encontrarnos un coloracion y triangulos tales que b_i=r_i=i para 1<=i<=2008 b_2009=2009, r_2009=4018 y w_i=2i de manera que los tiangulos originales tengan lados
(b_i+1,r_i,w_i) para 1<=i<=2008 y (b_1,r_2009,w_2009). notamos que si pueden existi estos tiangulos y que ademas b_k+r_k=w_k para 1<=k<=2008, con esta coloracion notamos que k=1. ahora queremos ver que k>0, supongamos que con el subindice 2009 se forma un triangulo de generado, entonces algun lado es mayor a la suma de los otros dos, supongamos sin perdida de generalidad que b_2009=>r_2009+w_2009=>r_x+w_y para cualquier x, y naturales menores a 2009. por lo tanto b_2009 no pudo estar en un triangulo no degenerado originalmente. por lo tanto con los subindices 2009 iempre se forma un triangulo.

DANIELIMO dijo...

Solucion del problema del 28 mayo
K=1,
(ver el comment de ariba )

José Luis Miranda Olvera dijo...

Siento ponerla hasta ahorita, queria ponerla junto con la solucion de otros problemas, pero solo tengo esta solucion:

Si r_m y b_n son los otros dos lados del triangulo original que tenia como lado a w_2009 entonces w_2009<r_m + b_n ≤r_2009 +b_2009.
Análogamente r_2009<w_k + b_l ≤w_2009 +b_2009 y b_2009<r_f + w_g ≤r_2009 +b_2009.
Por lo tanto al menos se puede formar un triangulo com esos tres lados.

Si el lado de los triangulo
T_i son (i+1, i+1, 1) para todo 1<i<2008 y los del triangulo 2009 son (2010, 1, 2010),
donde el primer lado de cada triangulo es pintado de color blanco, el segundo lado de rojo, y el tercer lado de azul
Entonces w_i=i+1 para todo 1<i<2009, r_i= para todo 1<i<2009, y b_i=1 para todo 1<i<2008 b_2009=2010, solo se puede formar el triangulo con lados w_2009=2010, r_2009=2009, b_2009=2010, ya que para todo i distinto de 2009: w_i=i+1, r_i=i, b_i=1, con lo que solo se pueden formar un triangulo degenerados.

El mayor k que cumple las condiciones del problema es k=1.

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