jueves, 3 de junio de 2010

N4 lista corta

Encuentra todas las ternas (a, m, n) de enteros positivos tales que a^m+1 divida a (a+1)^n.
Posted by Unknown at 12:36 a.m.
Labels: ,

10 comentarios:

Flavio dijo...

es a^(m+1) o (a^m)+1?

3 de junio de 2010, 7:40 p.m.
Georges dijo...

Haber esto es lo que llevo, claramente si a=1 y n y m son enteros positivos es solución, luego si m=1 y a y n son enteros positivos tambien es solución.Entonces supongamos que a y m son mayores que uno, entonces a^m+1>2.
Ahora supongamos que m es par.Como m es par entonces a+1 divide a (a^m)-1 (a^m congruente con (-1)^m congruente con 1). Por lo tanto si un entero d, divide a a+1 entonces divide a (a^m)-1, y si d tambien divide a (a^m)+1 entonces d divide a (a^m)+1-((a^m)-1)=2Por lo tanto mcd((a^m)+1,a+1)=1 o 2. Si es uno entonces ((a^m)+1,(a+1)^n)= 1 y entonces el primer número no divide al segundo por ser primos relativos.Si es dos entonces claramente (a^m)+1 tiene que ser una potencia de dos pero como ya sabemos que (a^m)+1>2 entonces (a^m)+1 es congruente con cero mod 4, pero un cuadrado (m es par) nunca puede ser congruente con 3 mod 4.Por lo tanto si a y n son mayores que uno entonces m tiene que ser impar.

El caso que m es impar lo voy a subir en un rato (cuando me salga) jaja..

3 de junio de 2010, 8:40 p.m.
Unknown dijo...

Es lo segundo Flavio

3 de junio de 2010, 10:57 p.m.
Unknown dijo...

Si, yo también ya tengo que m es impar. No he leído tu solución de esto Georges, no la quiero leer porque no lo he terminado, pero por la extensión que lo que escribiste creo que hice algo más corto.

3 de junio de 2010, 11:00 p.m.
DANIELIMO dijo...

llegue a que m es impar

4 de junio de 2010, 11:30 a.m.
Flavio dijo...

Pues segun yo ya me salio y la unica solucion no trivial es m=3,a=2,n>=2, pero no estoy muy seguro de que todo este bien, no se si conclui bien o me falto ver algo:
como ya varios vieron
se tiene m impar o a=1 suponemos que a>1.
Luego si d|m entonces a^d+1|a^m+1, ya que podemos factorizar suma de potencias impares
(a la m/d).
ahora veamos que no hay solucion con m un primo impar, entonces, no habra solucion para
cualquier m impar mayor a 1 por que tendra un divisor primo p, entonces
a^p+1 | a^m+1 entonces a^p+1|(a+1)^n, entonces no puede haber solucion ya que para primos
impares no habra.
sea m primo impar entonces, ahora le llamare p.
Supongamos que existe a tal que
a^p+1 | (a+1)^n para nuestro p
pero a^p+1 = (a+1)*(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1), entonces
(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) | (a+1)^(n-1)
pero supongamos que un primo q divide a (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1), entonces, q divide
a a+1, entonces a=-1 mod q, luego (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = p mod q. Entonces q divide a
(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) y entonces q divide a p. Entonces p=q, ya que q y p son primos.
entonces (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1)= p^r para algun entero r, ya que todos los primos que
dividen a q deben ser iguales a p.
Luego como p^r|a+1 entonces
a=pk-1, para algun entero k,
entonces (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = (a^p+1)/(a+1)= ((pk-1)^p+1)/(pk) entonces
(a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = ((pk)^p+(pC1)*(pk)^(p-1)*(-1)+...+(pC(p-2))*(pk)^2*(-1)^(p-2)+(pC(p-1))*pk*(-1)^(p-1)+(-1)^p+1)/pk
pero todos los terminos son multiplos de p^3*k^2, excepto por los ultimos tres terminos.Pero los ultimos dos son 1 y -1 y se cancelan
entonces al dividir entre pk queda un multiplo de p^2 mas (pC(p-1))*pk*(-1)^(p-1)/pk = p*(-1)^(p-1) entonces
p^2 no divide a (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) entonces como (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1)=p^r para algun entero r,
entonces (a^(p-1)-a^(p-2)+...+1) = p, entonces (a^p+1)/(a+1)=p
entonces
(a^p+1)/(a+1)-1=p-1 entonces (a^p+1-(a+1))/(a+1)=p-1, entonces (a^p-a)/(a+1)=p-1
pero p | a^p-a por teorema de fermat, pero p|p-1, entonces p|a+1 , ademas entonces
(a^p-a)/(a+1)=p-1=a*(a^(p-1)-1)/(a+1)pero como a+1 y a son primos relativos, entonces
a+1 | a^p-1, luego (a^(p-1)-1)/(a+1) es un entero, entonces a|p-1 , y ademas teniamos que p|a+1
entonces como son positivos todos, entonces a<=p-1, y p<=a+1 entonces p-1<=a, entonces p-1=a
entonces veamos para que primos p se cumple que
(p-1)^p+1|p^n y ademas tenemos que ((p-1)^p+1)/(p)=p, entonces (p-1)^p+1=p^2
<=> (p-1)^p=p^2-1=(p-1)*(p+1)
<=> (p-1)^(p-1)=p+1 => p-1|p+1 pero p-1|p-1 entonces p-1|p+1-(p-1)=2
entonces p-1=2 o 1 pero teniamos p impar, entonces p-1=2, entonces p=3. Entonces cualquier primo que divida a m
debe ser 3, bueno cuando m es impar
entonces m=3^r para r entero no negativo. Ademas demostre que a=p-1, entonces a=2
entonces hay que ver cuando
2^(3^r)+1|3^n, entonces queremos que 2^(3^r)+1=3^k para un entero no negativo k
pero si m>1, las unicas potencias a diferencia 1 son 8 y 9 por catalan.
entonces 2^(3^r)=8, entonces r=1, m=3, entonces m=3 o m=1.
pero si m=1, entonces queremos que
a+1|(a+1)^n, entonces todas las a y n son soluciones.
si m=3, ya vimos que entonces a=2,
y luego 2^3+1|3^n, entonces 9|3^n, entonces n>=2, a=2, m=3 es solucion, y por como se construyo, son las unicas soluciones.
a bueno y las de a=1.

4 de junio de 2010, 5:37 p.m.
DANIELIMO dijo...

solucion(a medias):
si p primo divide a a^m +1, a congruentecon a^m congruentecon -1(mod p) por lo tanto m es impar.
si q primo divide a m, a^q +1 divide a a^m +1 que divide a (a+1)^n por lo tanto X= (a^q +1)/(a+1) divide a (a+1)^(n-1). supongamos que un r primo distinto a q divide a X entonces a congruentecon -1 (mod r), y entonces 0 congruentecon X congruentecon q (mod r) lo que es una contradicción
por lo tanto X es una potencia de p

y ya encontre un error, asi q hasta aqui he llegado. Voy a checarlo a ver si encuentro como acabar

4 de junio de 2010, 10:01 p.m.
Unknown dijo...

Yo tengo eso de que m es impar y que si p primo divide a (a^{m}+1)/(a+1) entonces p divide a m. En resumen sólo tengo eso de lo que creo que pueda servir, no se me ha ocurrido nada nuevo...

4 de junio de 2010, 10:15 p.m.
Unknown dijo...

Por fin tengo una solución para este problema!!! La puse en un nuevo post por si a alguien le interesa verla...

6 de junio de 2010, 11:36 p.m.
Unknown dijo...

Teorema de zsigmondy

18 de agosto de 2016, 11:52 p.m.

Publicar un comentario

Suscribirse a: Comentarios de la entrada (Atom)