Problema 5 de la Centro

Creo que a alguien le ha de interesar que postee mi solucion del 5 por si alguien tiene curiosidad de verla.(aunque el nivel de problema se sale un poco del nivel para el que estamos entrenando)

Enunciado:
Dados p,q,r racionales distintos tales que (pq^2)^(1/3)+(qr^2)^(1/3)+(rp^2)^(1/3) es racional distinto de 0.
Demuestra que 1/(pq^2)^(1/3)+1/(qr^2)^(1/3)+1/(rp^2)^(1/3).

Demostracion:
Lema: Sea a,b,c racionales distintos de 0 tales que a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)) es racional, entonces b^(1/3) tambien lo es.
Sea t=a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)), entonces b^(1/3) es una solucion de la cuadratica cx^2 + ax -t, entonces
b^(1/3)=(-a +- (a^2+4ct)^1/2)/2c. b^(1/3) es racional SII +-(2c*b^(1/3)+a) lo es SII (a^2+4ct)^1/2 es racional.
ahora,elevando al cubo queda una exprecion T en la derecha, y b en la izquierda. Tenemos que T=b que es racional, entonces T es racional SII 8*T*c^3 es racional. Substituyendo T, tenemos que ((a^2+4ct)^(1/2)) * (+-1)(4a^2+4ct)-a^3-a(a^2+4ct) es racional SII (a^2+4ct)^1/2(+-1)(4a^2+4ct) es racional SII (a^2+4ct)^1/2 es racional SII b^(1/3) es racional. QED.


Llamemos A=(pq^2)^(1/3)+(qr^2)^(1/3)+(rp^2)^(1/3) y B=1/(pq^2)^(1/3)+1/(qr^2)^(1/3)+1/(rp^2)^(1/3).
Tenemos que A es racional, entonces A^3 es racional.Quitando los terminos sin raizes cubicas y dividiendo entre 3,queda que (pq+qr+rp)*(pqr)^(1/3)+(p+q+r)*(pqr)^(2/3) es racional, porlotanto poniendo a=pq+qr+rp, b=pqr, y c=p+q+r,tenemos que a,b,c son racionales y tambien a*(b^(1/3))+c*(b^(2/3)) es racional, entonces b^(1/3)=(pqr)^(1/3)=u tambien lo es. Ahora, consideremos AB. AB es racional SII AB-3 es racional SII (pq/r^2)^(1/3)+(r^2/pq)^(1/3)+ (pr/q^2)^(1/3)+(q^2/pr)^(1/3)+ (rq/p^2)^(1/3)+(p^2/rq)^(1/3) SII (pqr/r^3)^(1/3)+(r^3/pqr)^(1/3)+(pqr/p^3)^(1/3)+(p^3/pqr)^(1/3)+(pqr/q^3)^(1/3)+(q^3/pqr)^(1/3) es racional, SII u/r+r/u+u/p+p/u+u/q+q/u es racional, pero como u,p,q y r son racionales esta ultima exprecion tambien es racional, porlotanto AB es racional y como A es racional, B es racional.