miércoles, 9 de junio de 2010
Problema 9 de junio
Sea x un real tal que las desigualdades 0 < (2002^1/2) - a/b < x/ab se verifica para infinitos pares (a,b) de naturales. Demostrar que x es mayor o igual que 5.
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10 comentarios:
Perdon por la horrible redaccion pero me parece que confunde los signos con html, el problema esta entre 4 y 2 de imo (dificil, facil)
Ya lo corregí fer
Bueno, pues según yo lo que debe cumplir x es
[b2002^(1/2)]{b2002^(1/2)}< x
para una infinidad de enteros positivos b donde []es parte entera, {}parte fraccionaria y la b multiplica a raíz de 2002. Espero completar la solución en un rato más.
Multiplicando la desigualdad por ab que son positivos y llamando c=(2002^1/2)b obtenemos que 0<a(c-a)<x.
Pero eso se cumple para infinitas parejas de a y c. Si hay finitas a que cumplan, entonces tomamos una c lo suficiente grande y entonces ya probamos que x es mayor que 5. Ahora si hay infinitas a entonces tambien va a haber infinitas a que tiendan a infinito, pero entonces si x fuera menor a 5 entonces c-a tiene que tender a 0 para infinitas a. Es claro que entonces para los casos en los que c-a tienda a 0 entonces a tiene que ser igual a parte-entera(c). Osea debe de haber infinitas c tales que c(c-partentera(c))<x.
Pero yo pienso que tal vez se puede probar que x no solo tiene que ser mayor a 5 sino mayor a cualquier otro real. Y que tal vez 2002^1/2, no importa mucho, lo unico que importa es que es irracional.
Ok Georges, es ciero que hay una infinidad de parejas (a,c) que cumplen.
Si hay una infinidad de a´s y un numero finito de c´s me queda claro que ya acabaste, pues c-a es positivo, esta acotado y a va a infinito entonces el producto va a infinito pero creo que es el unico caso bien argumentado.
¿Como van los demas? ¿Quieren hint? Es un problema de numeros poco ortodoxo a peticion de Diego (que no ha comentado)
Yo creo q si!
pues yo llegue que existen infinitas parejas (a,b) que cumplan eso si y solo si existen infinitas b's tales que
[sqrt(2002)b]{sqrt(2002)b}<x
donde [x] es la parte entera de x y {x} la parte fraccionaria
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