viernes, 11 de junio de 2010
Problema del Dia 11 de junio
Demuestra que si tienes un triángulo en el plano cartesiano cuyos tres vértices tienen coordenadas enteras, entonces uno de los lados es mayor a la raíz cúbica de R, el circunradio.
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4 comentarios:
Por el teorema de pick el area del triangulo es igual a
I+B/2-1, donde I son los puntos enteros en el borde del triangulo, I los interiores.
Pero tenemos que I>=0, y que B>=3, (al menos los vertices del triangulo), entonces
A=I+B/2-1>=0+3/2-1=1/2
Entonces el area del triangulo es mayor o igual a 1/2.
Luego tambien podemos sacar el area con la formula
A=abc/4R>=1/2
entonces
abc>=2R, pero entonces por casillas uno de los lados debe ser mayor o igual a raiz cubica de 2R,
que es incluso mas fuerte que lo que pedia el problema, ya que claro raiz cubica de 2R es mayor
a raiz cubica de R
Muy bien. Mi solución es igual. El problema es de un Putnam.
Primero supongamos que a es el lado mayor. a>=b>=c entonces sabemos que a^3>=abc. Luego el area de un triangulo es abc/4R. Ahoria por el teorema de pick el area de un triangulo con coordenadas enteras es V_i+V_b/2-1(Suma del numero de vertices que hay en el interior del triangulo mas la mitad de los vertices que haya en el borde y menos 1). Ahora con esto como los 3 vertices del triangulo estan en V_b entonces al menos el area es 3/2 - 1=1/2. Luego 1/2>1/4 y abc/4R>=1/2>1/4 y abc/4R>1/4, abc>R y entonces a^3>R y a>raizcubica(R) y terminamos.
Mañana ya regreso a entrenar de lleno, es que ayer fue el ultimo día de clases y me entretuve en arreglar algunas cosas en la escuela, y hoy es mi fiesta de graduación, pero ya mañana a entrenar bien, ya traigo varios problemas atrasados, algunos ya los intenté pero no me han salido.
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