(a_1)^2 + (a_2)^2 + · · · + (a_100)^2 = 1.
Muestra que
(a_1)^2 · a_2 + (a_2)^2 · a_3 + (a_3)^2 · a_4 + · · · + (a_100)^2 · a_1 < 12/25
(problema de lista corta, equivale a un problema 5 o 3 de la IMO)
sábado, 5 de junio de 2010
Problema del día: 6 de junio del 2009
Sean a_1, a_2, ... , a_100 números reales no negativos tales que
(a_1)^2 + (a_2)^2 + · · · + (a_100)^2 = 1.
Muestra que
(a_1)^2 · a_2 + (a_2)^2 · a_3 + (a_3)^2 · a_4 + · · · + (a_100)^2 · a_1 < 12/25
(a_1)^2 + (a_2)^2 + · · · + (a_100)^2 = 1.
Muestra que
(a_1)^2 · a_2 + (a_2)^2 · a_3 + (a_3)^2 · a_4 + · · · + (a_100)^2 · a_1 < 12/25
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8 comentarios:
Hasta ahora sólo he podido demostrar que esa suma es menor que 1/(sqrt{3}), que queda algo flojo todavía...
he tratado de demostrar que el maximo se cumple cuando todas las variables son iguales. primero cambio de variable a b_i=a_i^2 y luego pretendo demostrar que el lado izquierdo es menor a ns^(3/2) donde s es el promedio aritmetico de las b's . intente 'smoothing', jensen, multiplicadores de lagrange, y ahorita estoy intentando con hölder, pero nada ha salido.
Yo he intentado algo asi como reacomodo y cauchy schwartz, y como que no se alcanza el maximo cuando son iguales segun yo
Si, yo he estado intentando lo mismo que Flavio, cuando las variables son iguales la cota queda muy floja
pues seegun yo si se alcanza el maximo. Generalizando de 100 a n, quedaria demostrar (tomando las b's como las que dije el comentario anterior)
[b_1b_2^(1/2)+b_2b_3^(1/2)+...b_2b_1^(1/2)] menor o igual a [(b_1+b_2+...+b_n)/n]^(3/2)
Creo yo que la anterior desiguadad es cierta, aunque si quedaria muy floja la cota
que es sqtr?
Raiz cuadrada Jose Luis (square root)
He intentado algunos cauchy, pero no me ha salido nada interesante
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