bueno, es un problema de una olimpiada universitaria, pero parece muy "preuniversitario" por asi decir:
Demuestra que
(gdc(n,m)/n) ( nCm)
es entero para toda pareja (n,m) en N^2
martes, 1 de junio de 2010
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8 comentarios:
Jajaja, parece que Diego ha posteado puros problemas que hicimos en el entrenamiento al que él no fue. Este lo hicimos en Cuernavaca, de hecho me acuerdo que Leal lo pasó a explicar. Salía fácil usando nCr=n/r(n-1Cr-1). Creo que también viene en el PEN.
Si, ya lo habiamos hecho
¬¬ pues que rayos no hicieron en el primer entrenamiento?
hasta donde he oido, hcieron de todo
Que curioso que escojas los mismos problemas. Tienen una serie de problemas de donde los sacan?
Por el lema de Bezout sabemos que existen enteros a y b tales que gcd(n,m)= an+bm. Por lo tanto:
(gcd(n,m)/n)(nCm) = ((an+bm)/n)(nCm)= (a+bm/n)(nCm)=a(nCm)+(bm/n)(nCm)=a(nCm)+(bm/n)(n/m)(n-1Cm-1)=a(nCm)+b(n-1Cm-1) que claramente si es entero.
Me pueden explicar la notacion que usan, la neta no entiendo el problema.
nCm significa
(n)
(m)
osea, combinaciones de n en r, y gcd es greater common denominator. Con respecto a lo de quique, no tengo lista de donde los saco, simplemente busco en mathlinks o en libros que tengo. Ese venia en un libro que me regalaron en Puerto Rico por sacar solucion creativa. (se llama algo asi como "William Lowell Putnam Mathematical Competition 1985-2000: Problems, Solutions, and Commentary"
Gracias Diego.
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