miércoles, 8 de septiembre de 2010
Problema del Día 8 de septiembre
Sea $f(n)$ el número de parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. Demuestra que $f(n) = \tau(n^2)$ donde $\tau(n)$ es igual al número de divisores de $n$.
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9 comentarios:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$, si y solo si $(x+y)n=xy$, $xy-(x+y)n=0$, $xy-(x+y)n+n^{2}=n^{2}$. Luego factorizando $(x-n)(y-n)=n^{2}$. Luego si $x-n$ es negativo entonces tambien $y-n$ lo sera, pero ambos son menores que $n$ ya que $x$ y $y$ son enteros positivos. Ahora no puede ser uno $0$, asi que ambos son positivos. Y si ambos son positivos entonces $x-n$ es un divisor positivo de $n^{2}$, y puede ser cualquiera desde 1 hasta $n^{2}$ y $y-n$ tendria que ser su complemento para que el producto sea $n^{2}$. Entonces las parejas que hay son los divisores de $n^{2}$. Entonces $f(n)=\tau(n^{2})$. FIN.
Estuvo fácil el problema. La solución que hice primero estaba complicada, se me ocurrió esta después de ponerlo.
Yo ya había hecho este problema hace un tiempo, pero luego pongo la solución.
¿Dónde viste el problema antes Irving? Me gustaría saber porque estuve un rato tratando de hacer un problema muy similar.
Me lo platicó Fer hace como, no sé´a lo mejor unos 3 meses
Yo demostré que el número de parejas $(x,y)$ tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ es igual a \[\sum_{d\, |\, n} 2^{\omega(d)}\]
donde $\omega(d)$ es el número de primos distintos que dividen a $n$. Luego me di cuenta que era $\tau(n^2)$. Curiosamente la única manera bonita que encontre de demostrar que $\tau(n^2) = sum_{d|n} 2^{\omega(d)}$ fue contando las soluciones a $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$. Hay una manera fácil, que es usando que $\tau(n^2)$ y $2^{\omega(d)}$ son ffunciones multiplicativas y por lo tanto sólo tienes que checar que sean iguales en las potencias de primos, algo que es muy fácil de verificar.
Ya lo habiamos hecho y mi solucon era: multiplicas por xy, le sumas n^2 y factorizas el lado izquierdo y queda
(x-n)*(y-n)=n^2, de lo que queda claro concluir
Me suena q ya lo habia hecho, mi soluión es la misma que flavio, multiplicar por xyn y factorizar
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