Avisos

1- La competencia de Invierno, por esta semana sera el Miercoles 2 de Febrero a las 10PM (sera de 30 minutos) y la proxima semana se reanudara los Lunes a las 9PM.

2- Sobre los problemas del día, el tiempo limite para postear sus soluciones de la semana sera los domingos a las 11:59PM.

Como andaban en Colima, el limite para postear soluciones de los de la semana que paso, también sera el próximo domingo junto con los de esta semana.

Problema del día 28 de Enero-NUM

Sean $x,y,z\in \mathbb{N}$. Encuentra todos los enteros que se pueden representar como

\[ \frac{(x+y+z)^2}{xyz}\]

Problema del día 27 de Enero-ALG

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Supongamos que para algún entero positivo $n$ existe un entero positivo $k\neq 1$ tal que $P^k(n)=n$. Demuestra que $P^2(n)=n$

Nota: $P^1(n)=P(n), P^2(n)=P(P(n)),...$

Problema del día miércoles 26 de Enero-COM

Dado un número natural $n\neq 1$, encontrar el menor entero positivo $k$ con la siguiente propiedad: Cada conjunto de $k$ cuadritos de un tablero de $n$x$n$ contiene un subconjunto no vacío $S$ tal que en cada fila y cada columna del tablero hay una cantidad par de cuadritos en $S$.

Problema del día: Martes 25 de enero - GEO

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $X$ un punto arbitrario en su plano. La cirunferencia de diámetro $XH$ intersecta a las rectas $AH$ y $AX$ en $A_1$ y $A_2$, respectivamente. De manera similar se definen los puntos $B_1$, $B_2$, $C_1$ y $C_2$. Prueba que las rectas $A_1A_2$, $B_1B_2$ y $C_1C_2$ con concurrentes.

Saludos desde Polonia. A ver si nos vemos en el siguiente entrenamiento. Suerte a todos.

Lounge Olímpico: Sábado 22 de Enero de 2011

Ahorita están todos en Colima, tienen Internet en el hotel? Quien trae computadora?
Voy a dejar el espacio abierto para que si se conectan comenten sobre que se pudiera hacer para mejorar los entrenamientos. Menos/mas horas? receso? mas/menos examenes? mas deporte/ejercicio físico? karaoke? alguna otra actividad?
Recuerdo haber leído en el libro sobre Perelman, como en la antigua URSS, los chavos sovieticos que iban a la IMO tenían en su concentración ademas de sus clases, varias sesiones de entrenamiento físico, lo cual me parece interesante; que otra cosa piensan podría ayudar?
Los entrenadores también están invitados a comentar !!

Problema del Dia (viernes 21 de enero - NUM)

Demuestra que para todo entero positivo $n$, el número $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$ no es primo.

Google - IMO

Una buena noticia para la comunidad matematica - olimpica internacional.

Google acaba de donar 1 millon de euros a la IMO
para la realizacion de las siguientes 5 IMO´s

Problema del dia: Jueves 20 de enero - ALG

Para empezar la serie de problemas de algebra, uno de desigualdades.

Muestra que para cualesquiera numeros reales positivos $x$, $y$, $z$ se tiene que

$$4(x+y+z)^3 > 27 (x^2 y+y^2 z +z^2 x).$$

Sugerencia

Sugiero que el problema del dia tenga esa leyenda para diferenciarlo
de los otros problemas que se proponen, de esta manera es mas facil
saber cuales contaran para la historia.

Problema TST USA

Un problema para entretenerse para antes de llegar al entrenamiento.

Sea un polinomio con coeficientes enteros tal que y
\[ \mcd(P(0), P(1), P(2),\ldots ) = 1. \]

Muestra que hay infinitas n tal que
\[ \mcd(P(n)-P(0), P(n+1)-P(1), P(n+2)-P(2),\ldots) = n. \]

Triángulos en polígonos regulares (Prob del dia: Miercoles 19 Enero - COM)

Sean $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_n$ los vértices de un polígono regular de $n$ lados. Determina el número de triángulos no congruentes de la forma $P_iP_jP_k$ donde $i$, $j$ y $k$ son enteros distintos entre $1$ y $n$.

(Básicamente, ¿cuántos triángulos no congruentes se pueden encontrar en un polígono de $n$ lados?)

problemas en mathlinks

¡Hola a todos!

Hoy quise mostrarle un problema de la IMO a un maestro, entré a mathlinks.ro (que ahora está fusionada con The art of problem solving), luego a resources y ¡ya no están los problemas! ¿Alguien sabe a dónde los movieron? ¡Saludos del niño y nos vemos en Colima!

Urgente Cambio de hotel en Colima

Me informan de Colima que el hotel a donde deben llegar es

Hotel Maria Isabel
Blvd. Camino Real No. 351
Col. Jardines Vista Hermosa
CP 28017, Colima, Colima
Tel (312) 316 0750
Fax (312) 316 0751

Un taxi desde la central de autobuses les cuesta 20 pesoso

Programacion del BLOG a partir de YA !!

La programacion MÍNIMA de lo que se va a estar haciendo en el blog a partir de este Martes 18 de Enero es la siguiente:

Los LUNES serán de Competencia de Invierno con David (9PM)

Los MARTES de Geometría con el Chino

Los MIERCOLES de Combinatoria con Leo

Los JUEVES de Álgebra con Rogelio

Los VIERNES de Números con Quique

El SABADO de Lounge para temas abiertos NO matemáticos

Esta programación sera lo mínimo que estará apareciendo en el blog cada semana, pero seguramente aparecerán mas problemas que puede poner cualquiera de ustedes, teoría o técnicas que alguien se encuentre y decida compartirla, este tipo de participación es muy importante; en la medida de lo posible si ponen algún problema, den una breve explicación de porque lo consideran interesante.

Asi que ademas de la CDI, estarán teniendo un problema del día semanal por área en el cual tendrán que trabajar; de nuevo les repito que su trabajo en el blog, especialmente en los problemas pero también su participación en general CONTARA como parte de su HISTORIAL a la hora de DECIDIR la DELEGACIÓN en Mayo.

Saludos

Panda

Problema del Día: Martes 18 de Enero de 2011 (GEO)

En el triángulo $ABC$, $CH$ es una altura, y las cevianas $CM$ y $CN$ son las bisectrices de los ángulos $\angle ACH$ y $\angle BCH$, respectivamente. El circuncentro de $CMN$ coincide con el incentro de $ABC$. Pruebe que $(ABC) = \frac{AN\cdot BM}{2}$.

PROBLEMA

Dejaré un problema que, no es ta difícil, pero creo que vale la pena ver la idea.

Sea W unacircunferencia y X, X', Y, Y', Z y Z' puntos en ese orden en W. Sea XX'=YY'=ZZ' en longitud.
Sean A, B y C los puntos de intersección de X'Y con Y'Z, Y'Z con Z'X y Z'X con X'Y respectivamente. Sean A', B' y C' los puntos mdios de YY', ZZ' y XX' respectivamente.
Demostrar que AA', BB' y CC' concurren en un punto.

Problema del 17 de Enero

¿Para cuáles $n\in \mathbb{N}$ el polinomio $x^n+x-1$ es divisible entre

(a) $x^2-x+1$

(b) $x^3-x+1$?

Problema

C={1,2,3....,n}
¿De cuantas formas puede elegir un subconjunto S de C tal que en S no haya dos elementos que son numeros consecutivos?
(para n=3, son 5, {1}{2}{3}{1,3}{vacio} )

Lounge Olímpico: Sábado 15 de Enero de 2011 --- EL RETO 42 ---

Con esta entrada inauguramos el "Lounge Olimpico". Todos los sábados estarán abiertos a platicas y temas NO matemáticos propuestos por los miembros del blog. La idea es que alguien (o algunos) propongan un tema y en el transcurso del día conforme los demás accedan el blog discutirlo de manera informal, puede ser un tema de cualquier naturaleza, referente o no a la IMO, cualquier cosa que les parezca digna de ser discutida. Pueden inclusive discutirse varios temas en un mismo sábado. La idea del lounge es simplemente sentarse cómodamente a platicar de diversas cosas entre los miembros del blog. Creo que recordarles que es fundamental que opinen esta de mas, no sean simplemente observadores, interactuen y transformen con su dialogo. En esto vamos todos juntos muchachos, hagan su parte.

Comenzare con un reto para la delegación mexicana 2011 que le llamare el RETO 42. Los reto a que en la IMO la selección saque un OP(4)B(2); es decir la suma de Oros + Platas sea 4 y ademas saquen 2 bronces. Ese es el reto que lanzo el día de ahora y la discusión que propongo es si lo consideran legitimo.
Es pedirles demasiado?  Esta selección esta a esas alturas? Porque no se podría lograr? Porque SI se puede lograr?
Varios pensamos que esta delegación tiene la capacidad de lograr esos resultados, y la delegación que piensa al respecto? o quizás piensen que ustedes individualmente si están para el reto, pero la delegación no?

La pelota esta en su campo. Su turno.

Calificaciones

Perales Anaya Daniel Morelos 7 7 7 7 7 7 42
Hernández González Flavio Aguascalientes 7 7 7 7 7 7 42
Enrique Chiu Han DF 7 6 7 7 7 6 40
Karina Patricia de la Torre Sáenz Chihuahua 7 1 7 3 7 1 26
Adán Medrano Martín del Campo Jalisco 7 7 3 7 7 0 31
Roque Montoya Diego Alonso Nuevo León 7 7 7 7 7 6 41
Fernando Serrano Crotte DF 7 7 3 1 7 3 28
Guardiola Espinosa José Ramón San Luis Potosí 7 7 7 7 7 5 40
Belanger Albarrán Georges Morelos 7 7 7 7 7 5 40
Jorge Garza Vargas DF 7 7 7 7 7 7 42
Manuel Alejandro Espinoza García Michoacan 7 7 7 3 7 7 38
María Natalie Arancibia Alberro Morelos 7 0 2 1 7 7 24
Añorve López Fernando Josafath Nuevo León 7 7 7 3 7 6 37
Angel Adrian Domínguez Lozano Nuevo León 7 1 1 3 0 6 18
José Naín Rivera Robles Quéretaro 7 7 7 7 7 2 37
Jorge Ignacio González Cázares Jalisco 7 7 7 4 7 7 39

El ganador es...

El ultimo en confirmar su asistencia al entrenamiento es Jorge Ignacio Gonzalez de Jalisco

Problema del día: 12 de Enero de 2011

Existirán 100 enteros positivos, todos ellos menores que 25000, de tal forma que la suma de cada par de ellos es un numero distinto?

LATEX

Hola, quisiera saber si alguien podría decirme como instalarle LATEX a un blog. Gracias.

Comentarios del entrenamiento de Colima

1. Los segundos no deben postear en este blog las confirmaciones,
pues este recurso solo es para los primeros.

2. Flavio, Enrique y Diego no estan considerados que ya confirmaron
pues necesitamos el dia exacto de su llegada para la reservacion del hotel.

3. Tambien faltan de confirmar

Fernando del DF
Jorge I de Jalisco
Maria de Morelos

Saludos

Entrenamiento - Colima

Hola a Todos

El segundo entrenamiento para los ganadores de la olimpiada pasada
se llevara a cabo en Colima, Colima del 20 al 30 de enero del 2011.

El hotel donde se hospedaran sera

Hotel Mision Colima
Blvd. Camino Real #999
Colonia El Diezmo, Codigo postal 28010
Colima, Colima
Telefono: (312) 313-8101
Fax: (312) 314-6860

El ingreso al hotel es en el transcurso del dia 20 de enero y la salida es el domingo
30 de enero despues del desayuno.

El comite de la olimpiada Mexicana de matematicas se hara cargo de los
gastos de hospedaje y alimentacion.

Por favor confirmen su asistencia asi como su dia de llegada lo mas pronto posible en este
post, el ultimo que confirme tiene tres puntos menos en los examenes de Colima.

Sin mas por el momento los esperamos en Colima

Saludos

Rogelio

Examen 3 de la Competencia de Invierno!!!

Problema 1. ¿Cuál es el menor $n\in \mathbb{N}$ tal que todo subconjunto de $n$ elementos de $\{1,2,...,20\}$ contiene dos números con diferencia 8?

Problema 2. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ se cumple que el polinomio $nx^{4}+4x+3$ tiene al menos una raíz real?

Problema 3. Si las alturas de un triángulo miden 12, 15 y 20, ¿cuánto mide el ángulo interior más grande?

Problema 4. Una caja rectangular de m x n x p tiene la mitad de volumen que una caja rectangular de (m+2) x (n+2) x (p+2), donde m, n y p son enteros. Encontrar el máximo valor posible de p.

Problema 5. Dada una sucesión finita $S=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ de $n$ números reales, definimos $A(S)$ como la sucesión de $n-1$ números

\[ \left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2},\frac{a_{2}+a_{3}}{2},\ldots,\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}\right) \]

Definimos también $A^1(S)=A(S)$ y para cada entero $m$, mayor que 1 y menor que $n$, $A^{m}(S)=A(A^{m-1}(S))$. Supongamos que $S=(1,x,x^{2},...,x^{2011})$ y que $A^{2011}(S)=(556^{2011})$. Encuentra $x$.

Problema 6.Sea $ A_{k}=\frac{k(k-1)}{2}\cos\frac{k(k-1)\pi}{2}, $.Calcula $ A_{19}+A_{20}+...+A_{98}$

Problema 7. ¿Para cuántas parejas de enteros positivos $(x,y)$ es cierto que $y$ es mayor que $x$ y menor que $10^{6}$ y que

\[ \frac{x+y}{2}= \sqrt{xy}+2 \]?

Problema 8. Sea $f$ una función real definida en los enteros que cumple

\[ f(n)-(n+1)f(2-n)=(n+3)^{2} \]

Determina $f(0)$.

Problema 9. Determina el menor entero positivo $n$ tal que cualquier conjunto de enteros positivos primos relativos por parejas, mayores que 1 y menores que 2005, contiene al menos un número primo.

Problema 10. Dos circunferencias con centros $A$ y $B$ tienen radios 3 y 8, respectivamente y no se intersectan. Una tangente interior común toca a las circunferencias en $C$ y $D$, respectivamente. $AB$ y $CD$ se cortan en $E$ y $AE=5$. ¿Cuánto mide $CD$?

Problema 11. ¿Para cuántos enteros positivos $k$ se tiene que $12^{12}$ es el mínimo común múltiplo de $6^{6}$, $8^{8}$ y $k$?

Problema 12. Un círculo está inscrito en el cuadrilátero $ABCD$ y es tangete a $AB$ en $P$ y a $CD$ en $Q$. Si $AP=19$, $PB=26$, $CQ=37$ y $QD=23$, ¿cuánto vale el cuadrado del radio del círculo?

Problema 13. Si escribimos los número del 1 al 999, uno tras otro para formar el número 1234567891011...998999, ¿cuántas veces aparece el “21” en este número?

Problema 14. Consideremos los polinomios $ P(x)=x^{6}-x^{5}-x^{3}-x^{2}-x $ y $Q(x)=x^{4}-x^{3}-x^{2}-1$ . Sean $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ y $z_{4}$ las raíces de $Q(x)$, encuentra $ P(z_{1})+P(z_{2})+P(z_{3})+P(z_{4}) $.

Problema 15. Sea $n$ la cantidad de cuartetas ordenadas $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ de enteros positivos impares tales que su suma es 98. Encuentra $\frac{n}{100}$.

Lista examen 3!

Todos los que ya hayan llegado para el 3er examen pongan un comment en este post!

Recordatorio de 3er examen!!

Sólo para recordar a todos que hoy es el tercer examen a las 9:00 PM, hora del centro. Voy a poner un post "Lista" en el que tienen que poner un comentario para saber quiénes si llegaron al examen. Este estará 10 min antes de que empiece el examen.

Recuerden que el tiempo que tendrán esta vez es de 45 min.

Problema de Año nuevo

Aun no han salido soluciones del Problema de Triangulaciones que les dejé más abajo, por si no lo han visto, es la publicación anterior al Recordatorio Examen #2.

Ostrowski (1919).

Vagando por mathlinks me encontre un resultado muy interesante y me parecio util postearlo.

Sea $p(x_1,x_2,\ldots, x_k)$ un polinomio con grado $d_i$ sobre la variable $x_i$. Demostrar que si existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_k$ tal que para toda $k$-tupla de enteros $(r_1,r_2,\ldots,r_k)$ que cumpla que $a_i\leq r_i\leq a_i+d_i$ se cumpla que $p(r_1,r_2,\ldots,r_k)$ es entero, entonces $p(n_1,n_2,\ldots,n_k)$ es entero cuando $n_i$ es entero para todo i.

Solución problema 6 de enero

Está un poco larga...pero ahí va:

Problema del 6 de enero

Sea $p>2$ un número primo dado y sea \[ S_{k}= 1^{k}+2^{k}+\ldots+(p-1)^{k} \] Determina los valores de $k \in \mathbb{N} $ para los cuales $ p\, |\, S_{k} $.

Resultados Examen # 2, Competencia de Invierno

Por favor verifiquen si sus puntuaciones y las de los demás son correctas

Pr1.- 8 (Daniel +1)
Pr2.- 8 (Flavio +2, Diego -2)
Pr3.- 12 (Diego+1)
Pr4.- 79 (Daniel -1+1; Manuel -1)
Pr5.- 77 (Enrique +1; Nain -1, Daniel -1)
Pr6.- $4+\sqrt{3}$ (JoseRa +1; Angel -1, Adan -1)
Pr7.- 589 (Nadie; Diego -2+2, Maria -2+2)
Pr8.- 4 (Diego+1)
Pr9.- 121 (Diego +2; Manuel -2, Flavio -2)
Pr10.- 30pi (Manuel +1)
Pr11.- 84 (Enrique +1)
Pr12.- 34 (Manuel +1; Flavio -1)
Pr13.- $12\sqrt{34}$ (Adan +1; Nain -1, Daniel -1)
Pr14.- 13 (Daniel +1; Angel -1)
Pr15.- 8 (Karina +1)

Puntos Examen #2

Diego ----  +2
Enrique ---  +2
JoseRa ---  +1
Karina ---  +1
Daniel ----  0
Adan -----  0
Maria ----  0
Flavio ----  -1
Manuel ---  -1
Nain ------  -2
Angel -----  -2
Los demas   -2

Examen # 2: Competencia de Invierno 2010-2011

Problema 1.- Un triángulo equilátero $ABC$ está inscrito en una circunferencia. Una segunda circunferencia es tangente interiormente a la primera en $T$ y tangente a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Si $AB=12$, ¿cuánto mide $PQ$?

Problema 2.- ¿Cuántos $n\in \mathbb{N}$ menores que 1000 cumplen que si $n=p_{1}p_{2}...p_{k}$ con los $p_{i}$ primos no necesariamente distintos, entonces $n$ divide a $(p_{1}+1)(p_{2}+1)...(p_{k}+1)$?

Problema 3.- Considere 6 puntos sobre una circunferencia. ¿Cuál es el máximo número de cuerdas que pueden trazarse entre esos puntos de manera que no haya 4 de ellos que determinen un cuadrilátero con todos sus lados y diagonales trazadas?

Problema 4.- Usando las letras  E, I, L,N, S exactamente una vez formamos palabras de 5 letras. Si todas estas palabras son puestas en orden alfabético, la palabra NIELS ocupara el lugar numero ?

Problema 5.- El producto de 3 enteros positivos consecutivos es 8 veces su suma. Encontrar la suma de sus cuadrados.

Problema 6.- Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sobre sus lados se construyen exteriormente cuadrados $ABC_{1}C_{2}, BCA_{1}A_{2}$ y $CAB_{1}B_{2}$. Encuentra la razón entre las áreas de los triángulos $A_{1}B_{1}C_{1}$ y $ABC$.

 Problema 7.-  Sea $n=2^{31}3^{19}$. ¿Cuántos divisores positivos de $n^2$ son menores que $n$ pero no dividen a $n$?

Problema 8.- Sea $T=(a,b,c)$

. Decimos que $T$“es un triángulo” si existe un triángulo de longitudes $a,b,c$ satisfaciendo $a\ge b\ge c>0$.

Definimos $T^2=(a^2,b^2,c^2)$, $\sqrt{T}=(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$ . Considere las siguientes afirmaciones:

1.- Si  $T$es un triángulo equilátero,  $T^2$es equilátero.

2.- Si  $T$ es un triángulo rectángulo,  $T^2$es un triángulo.

3.- $T^2$ 

es un triángulo si y sólo si  es un triángulo acutángulo.

4.- $\sqrt{T}$ 

siempre es un triángulo para todo triángulo $T$.

5.- Si  $T$ es un triángulo entonces los ángulos de 

$\sqrt{T}$

 son agudos.

¿Cuántas de las afirmaciones anteriores son verdaderas?

Problema 9.- En un plano hay un cangrejo en el punto (0,0). En cada paso el cangrejo puede moverse una unidad hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. Si el cangrejo da 10 pasos, ¿en cuántos puntos distintos del plano puede quedar al final?

Problema 10.- Las longitudes de los lados de un triángulo son 3, 6 y 7. Tomando los vértices como centros, se trazan tres círculos tangentes exteriormente dos a dos. Determina la suma de las áreas de los círculos.

Problema 11.- Pedro, Ana y Julián eligen cada uno tres enteros del conjunto {1,2,…,9} sin repetir. Pedro tomó tres números consecutivos cuyo producto es 5 veces su suma. Ana no tiene ningún número primo pero sí tiene dos enteros consecutivos y el producto de sus números es 4 veces su suma. ¿Cuál es el producto de los números que tiene Julián?

Problema 12.- Sean $a,b,c,d,e,f,g$ y $h$ elementos del conjunto $\{-7,-5,-3,-2,2,4,6,13\}$, todos distintos. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $(a+b+c+d)^2+(e+f+g+h)^2$ 

Problema 13.- Sea ABC un triángulo acutángulo. Sean H,G,M los pies desde la altura, la bisectriz y la mediana desde A. Se sabe que HG=GM, AB=10, AC=14. ¿Cuál es el área del triángulo ABC?

Problema 14.- Los lados de un triangulo tienen longitudes    , donde  es un entero. Para cuantos valores de  el triangulo es obtuso?

Problema 15.- Las raíces del polinomio $x^2+mx+n$ son el doble de las raíces de $x^2+px+m$ y ninguno de los números $m,n$ y $p$ es cero. Calcula $n/p$.

Recordatorio: Examen #2 Competencia de Invierno AHORA !!

10PM (Tiempo del centro)    Duración: 60 minutos

Problema de Año Nuevo

Hola a todos! Feliz Año Nuevo!
Les dejo una solución que usa una técnica diferente a las ya presentadas del problema de geometría. También les dejo otro problema para que sigan trabajando. Saludos!! =)

El problema dice:
"Los vértices de un triángulo se etiquetan con las letras A, B, C. Dicho triángulo se subdivide en triángulos más pequeños. Los vértices de los nuevos triángulos que queden sobre los lados del tiángulo original se etiquetan bajo las siguientes condiciones: los vértices sobre AB deben etiquetarse como A o como B, los vértices sobre BC deben etiquetarse como B o como C, los vértices sobre AC deben etiquetarse como A o como C y los vértices en el interior pueden etiquetarse con cualquiera de las letras A, B, C. Pruebe que al menos uno de los subtriángulos en los que se dividió el triángulo original recibe las tres etiquetas."

La solución del Regalo de Navidad es la siguiente:

Primero, les recuerdo el
Teorema Generalizado de la Bisectriz,
que dice: "Si ABC es un triángulo y P es un punto sobre BC entonces"

$\frac{BP}{PC} = \frac{BA}{AC}\cdot\frac{\sin\angle BAP}{\sin\angle PAC}$

Definiendo los ángulos $\alpha =\angle QBS$ $\beta = \angle SBA$
$\theta = \angle AQB$

es fácil verficar que
$\alpha = \angle QBS = \angle RAT$
$\beta = \angle SBA = \angle SAK =\angle ARB$
$\theta = \angle AQB = \angle TAB = \angle QBR$
de lo cual se desprenden varias semejanzas que utilizaremos más adelante


a)

De la semejanza entre los triángulos $BRP$ y $AQP$ y del hecho de
que $AQ$ es paralela a $BR$ se sigue que $P, S, T$ son colineales si y sólo si se
satisface $\frac{QS}{SA} =
\frac{RT}{TB}$

Aplicando el teorema generalizado de la bisectriz al triángulo
$ABQ$ y el punto $S$, obtenemos:

$\frac{QS}{SA} = \frac{QB}{BA}\cdot\frac{\sin\angle QBS}{\sin
\angle ABS} = \csc\theta \cdot
\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta\cdot\sin\theta}$

y aplicando el mismo teorema al punto $T$ y al triángulo $ABR$:


$\frac{RT}{TB} = \frac{RA}{AB} \cdot \frac{\sin\angle RAT}{\sin
\angle BAT} =\csc\beta\cdot
\frac{\sin\alpha}{\sin\theta}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta\cdot\sin\theta}$

lo que termina la demostración de este inciso.

b)

Para este inciso utilizaremos otro resultado que yo lo uso muy de la mano con el teorema de la bisectriz, que dice:

"Si $\alpha + \beta = x+y <180$ y $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{\sin x}{\sin y}$ donde los $\alpha,\beta,x,y$ son todos positivos, entonces $\alpha =x$, $\beta = y$".

En virtud de ese resultado, para este inciso demostraremos que $\angle APK = \angle BPL$, de lo cual se sigue inmediatamente la colinealidad entre $P,K,L$.

Observemos que $\angle APK + \angle RPK = \angle BPL + \angle QPL = \angle APQ < 180$, por lo que basta demostrar que $\frac{\sin\angle QPL}{\sin\angle BPL} = \frac{\sin\angle RPK}{\sin\angle APK}$

Aplicaremos ahora el teorema generalizado de la bisectriz en el triángulo $QPB$ y el punto $L$ sobre $QB$:

$\frac{QL}{LB} = \frac{QP}{PB}\cdot\frac{\sin\angle QPL}{\sin\angle BPL}$

$\Leftrightarrow$

$\frac{\sin\angle BPL}{\sin\angle QPL} =\frac{QL}{LB}\cdot\frac{QP}{PB} = \frac{QL}{LA}\cdot \frac{LA}{LQ}\cdot\frac{QP}{PB} = \frac{AB^2}{AQ^2}\cdot\frac{QP}{PB}$

la última igualdad se debe a las semejanzas $ABQ \sim LBA$ y $ABQ \sim LQA$.
Análogamente:

$\frac{\sin\angle APK}{\sin\angle RPK} = \frac{AK}{KR}\cdot\frac{RP}{PA}=
\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BK}{KR}\cdot\frac{RP}{PA}=\frac{AB^2}{BR^2}\cdot\frac{RP}{PA}$

la igualdad $\frac{AB^2}{AQ^2}\cdot\frac{QP}{PB}=\frac{AB^2}{BR^2}\cdot\frac{RP}{PA}$ se sigue directamente de la semejanza $BRP \sim AQP$.

Entonces acabamos de probar que $\frac{\sin\angle BPL}{\sin\angle QPL} =\frac{\sin\angle APK}{\sin\angle RPK}$ y ya habíamos visto que $\angle BPL + \angle QPL = \angle APK + \angle RPK < 180$, y por el resultado mencionado al principio se sigue que $\angle APK
= \angle BPL$ y $\angle RPK = \angle QPL$, cualquiera de esas dos igualdades implica que P,K,L son colineales, como queríamos.

Puntuaciones examen #1 Competencia de Invierno

Pr1: +1 Daniel
Pr2: +1 Angel95
Pr3: +2 Nadie
Pr4: +1 Daniel
Pr5: +1 Kapadesa / Daniel(-1)
Pr6: +1 Jorge Chuck
Pr7: +2 Nadie
Pr8: +2 Nadie / Jorge Chuck(-2+2)
Pr9: +1 JoseRa / Fercho(-1)
Pr10: +1 Jorge Chuck
Pr11: +2 Nadie / Manuel(-2+2)

Jorge Chuck ---- 2
Daniel ---- 1
Angel95 ---- 1
Kapadesa ---- 1
JoseRa ---- 1
Manuel ---- 0
Jorge Garvar ---- 0
Fercho ---- -1
Los demás ---- -1

Como pueden ver, todos los que no tengan NINGUNA respuesta, automáticamente tendrán el puntaje del mas bajo de los que tienen respuesta.
También, si tienen puntos negativos pero nadie resolvió el problema, automáticamente esos puntos negativos se convierten en 0.
A partir del próximo, respuestas erróneas escritas DENTRO del tiempo (antes o después de una respuesta correcta), tendrán puntos negativos.
Tienen que poner atención al escribir de que problema es la respuesta, por esta vez no lo tome en cuenta, pero si su respuesta es incorrecta (aunque sea la de otro problema), tendrán puntos negativos.

PROXIMOS EXAMENES:

Miercoles 5 de Enero 10PM (Duración: 60 minutos)
Lunes 10 de Enero 10PM (Duración: 45 minutos)

Panda

Feliz Año Nuevo para todos