lunes, 17 de enero de 2011
Problema del Día: Martes 18 de Enero de 2011 (GEO)
En el triángulo $ABC$, $CH$ es una altura, y las cevianas $CM$ y $CN$ son las bisectrices de los ángulos $\angle ACH$ y $\angle BCH$, respectivamente. El circuncentro de $CMN$ coincide con el incentro de $ABC$. Pruebe que $(ABC) = \frac{AN\cdot BM}{2}$.
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6 comentarios:
Llamemos I al incentro de ABC, X,Y,Z a los puntos de intersección del incirculo de ABC con BC,CA,AB resp.
Tenemos la siguiente igualdad de angulos 2ACI=BCA=2MCN=MIN=2ZIN (Facil de ver que es cierto)
Por lo tanto ZIN es congruente a YCI (YCI=ZIN, tienen uno de 90 los dos, y NI=IC por ser I circuncentro) Con esto obtenemos que ZN=YI que tambien es igual a ZI por ser inradios.
Por lo tanto ZIN es un triangulo rectangulo isoceles y por lo tanto ZIN=45, entonces BCA=2ZIN=90.
Ya con esto es facil ver que ANC=ACN y BMC=BCM es decir AN=AC y BM=BC, por lo que (AN)(BM)/2=(AB)(AC)/2=(ABC) por que ACB es recto.
FIN
creo que ya lo hice
Sea O el circuncentro de CMN, y sea D,E y F la proyección de O en BC, CA y AB Respectivamente.
Como O es incentro de ABC, <OCD=45° y ABC es recto en C.
Ahora, por la congruencia anterior, BM= BF+FM = BF + DC pero como O es el incentro de ABC, y tanto D como F son puntos de tangencia, BF=BD por lo que BM=BD + CD = BC.
análogamente, AN=AC.
Como ABC es recto en C, (ABC)=AC*BC/2 = AN*BM/2
FIN
Esta cosa omitió parte de mi demostración!!!
después del primer enunciado debería ir:
<OCD=<OCE y son la mitad de <ACB al igual que <MCN por lo que <OCD=<MCN y como éste es un ángulo inscrito y <MON es central y abren el arco MN que no contiene a C, <MON=<ACB y entonces, como OM=ON por ser radios, MON es isosceles y <OMF=90-<OCD
Ahora, OF = OD porque sonradios del incírculo dee ABC, y OC = OM ya que son radios del circuncírculo de CMN, y ambos son rectos, así que al calcular por el Teorema de Pitágoras el otro lado vemos que son congruentes: MFO=DCO
y<OMF=90-<OCD=<OCD y entonces <OCD=45°
(lo demás si está)
Sea O el circuncentro de MCN y Q,R, S los puntos de tangencia del incirculo ABC con CA, AB y BC respectivamente. a= angulo ACM y b= angulo NCB. Entonces angulo MCN= a+b= 1/2 de 2(a+b)= 1/2 de angulo ACB=angulo QCO. Pero ya que O esta en la mediatriz de MN entonces R es el punto medio MN , por lo que angulo MCN= 1/2 del angulo MON= angulo RON. Ya que los triangulos QCO y RON tienen dos angulos iguales (NRO=90=OQC y RON=MCN=QCO) entonces son semejantes, pero ya que O es incentro de ABC, entonces CO=ON, y los triangulos son congruentes, por lo que RN=QC=OR, entonces angulo RON=a+b=45. Entonces triangulo ABC es recto en C, ademas que angulo CMB=90-a=2b+a= angulo MCB, entonces MB=CB, y analogamente AN=AC, entonces (AN)(MB)/2=(AC)(CB)/2= (ABC).
Están padres sus soluciones, básicamente es la misma idea de obtener semejanzas en los puntos de tangencia. Luego les platico la mía, con la ayuda de unos cíclicos que salen x ahí..
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