Dejaré un problema que, no es ta difícil, pero creo que vale la pena ver la idea.
Sea W unacircunferencia y X, X', Y, Y', Z y Z' puntos en ese orden en W. Sea XX'=YY'=ZZ' en longitud.
Sean A, B y C los puntos de intersección de X'Y con Y'Z, Y'Z con Z'X y Z'X con X'Y respectivamente. Sean A', B' y C' los puntos mdios de YY', ZZ' y XX' respectivamente.
Demostrar que AA', BB' y CC' concurren en un punto.
lunes, 17 de enero de 2011
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4 comentarios:
Como XX'=YY'=ZZ' entonces los arcos correspondientes son iguales entonces XY'||X'Y, XZ'||X'Z y YZ'||Y'Z.
Caso a. Las diagonales XY',YZ',ZX' se intersectan en P. Tenemos que PX'||X'Z||XZ'||XC, XP||XY'||X'Y||X'P entonces CXPX' es paralelogramo y como C' es punto medio de XX' entonces C,C' y P son colineales. Porlotanto AA',BB',CC' se intersectan en P.
Caso b. Las diagonales XY',YZ',ZX' no concurren. Digamos que XY' y YZ',YZ' y ZX', ZX' y XY' se intersectan en R,S,T respectivamente. Por un argumento similar al caso a, tenemos que A,A',R son colineales al igual que B,B',S y que C,C',T.
Tenemos que R y S estan en YZ' entonces RS||YZ'||ZY'||AB. Similarmente ST||CB y RT||CA entonces los triangulos RST y ABC son homoteticos. Porlotanto RA,SB y TC se intersectan en un punto P y como A,A',R;B,B',S;C,C',T son colineales entonces AA',BB',CC' se intersectan en P.
Tenemos que x"yy"x es un cíclico con lados opuestos iguales por lo tanto es un trapecio isósceles es decir x"y paralela a xy" paralela a a"c" por ser puntos medios. Es decir a"c" paralela a ac análogamente los otros 3 lados y por lo tanto ABC es homotetico a a"b"c" y por lo tanto concurren las líneas que queremos.
Tenemos que X'Y y XY' cortan al círculo en arcos iguales puesto que XX'=YY' y ambos son cuerdas, de modo que X'Y||XY' y como A' y C' son los puntos medios de YY' y XX' respectivamente, por el Teorema de Tales tenemos que A'C'||X'Y||AC
Hacemos esto análogamente con los otros dos lados, A'B' y B'C' y obtenemos que ABC y A'B'C' son homotéticos y por lo tanto AA', BB' y CC' concurren en el centro de homotecia.
Ya que cuerdas iguales abren arcos iguales,los angulos (X´Y´X) y (Y´X`Y) son iguales por lo que X´Y//XY´, entonces C´y A´son los puntos medios de los lados no paralelos del trapacio X´YY´X, por lo que C´A´//X´Y//CA analogamente A´B´//AB Y B´C´//BC, por lo que los triangulos ABC Y A´B´C´ son homoteticos por lo que AA´, BB´Y CC´concurren el el centro de homotecia
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