México rumbo a la IMO: Competencia de Invierno: Examen #5 (30 minutos)

lunes, 7 de febrero de 2011

Competencia de Invierno: Examen #5 (30 minutos)

Recuerden el Codigo de Honor !!!!!!!!!!!

P1 - Sea $P$ un punto interior del triangulo $ABC$ , extendemos lineas de los vértices a través de $P$ a los lados opuestos. Sea $a$ , $b$ , $c$ , $d$ las longitudes de los segmentos indicados en la figura. Encuentra el producto $abc$ si $a + b + c = 43$ y $d = 3$ .

P2- $6! = 8 \cdot 9 \cdot 10$ . Encuentra el mayor entero positivo $n^{}_{}$ para el cual $n^{}_{}!$ puede ser expresado como el producto de $n - 3_{}^{}$ enteos positivos consecutivos.

P3- Un triangulo tiene vertices $P_{}^{}=(-8,5)$ , $Q_{}^{}=(-15,-19)$ , y $R_{}^{}=(1,-7)$ . La ecuacion de la bisectriz de $\angle P$ puede ser escrita en la forma $ax+2y+c=0_{}^{}$ . Encuentra $a+c_{}^{}$ .

P4- La función $f$ , definida en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades:

$\begin{eqnarray*} f(x,x) & = & x, \\f(x,y) & = & f(y,x), \quad \text{and} \\(x + y) f(x,y) & = & yf(x...$ Calcula $f(14,52)$ .

P5- La secuencia creciente $2,3,5,6,7,10,11,\ldots$ consiste de todos los enteros positivos que no son ni el cuadrado ni el cubo de un entero positivo. Encuentra el termino 500th de la sucesion.

P6- Sea $|x_i| < 1$ para $i = 1, 2, \dots, n$ . Ademas sea $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|.$

Cual es el menor valor posible de $n$ ?

P7- La funcion f esta definida en el conjunto de los enteros y satisface $f(n)=\begin{cases}n-3&\mbox{if}\ n\ge 1000\\f(f(n+5))&\mbox{if}\ n<1000\end{cases}$

Encontrar $f(84)$ .

27 comentarios:

David (sirio11) dijo...: Recuerden el Codigo de Honor !!!!!!!!!!!; 7 de febrero de 2011, 9:01 p.m.
jorge garza vargas dijo...: problema2. n=23; 7 de febrero de 2011, 9:05 p.m.
Enrique dijo...: pr4. 364/19; 7 de febrero de 2011, 9:05 p.m.
angel95 dijo...: problema 5: 528; 7 de febrero de 2011, 9:06 p.m.
Manuel Alejandro dijo...: Problema 7= 998; 7 de febrero de 2011, 9:07 p.m.
José.Ra dijo...: problema 5.
527; 7 de febrero de 2011, 9:08 p.m.
Anónimo dijo...: P4. 52; 7 de febrero de 2011, 9:12 p.m.
Adán dijo...: Problema 6. $n=20$; 7 de febrero de 2011, 9:13 p.m.
DANIELIMO dijo...: P1
441; 7 de febrero de 2011, 9:14 p.m.
Flavio dijo...: p3 = 89; 7 de febrero de 2011, 9:14 p.m.
jorge garza vargas dijo...: problema 5. 530; 7 de febrero de 2011, 9:14 p.m.
Enrique dijo...: pr6 20; 7 de febrero de 2011, 9:14 p.m.
Anónimo dijo...: p6. 20; 7 de febrero de 2011, 9:15 p.m.
Flavio dijo...: p7, 1001; 7 de febrero de 2011, 9:18 p.m.
José.Ra dijo...: problema 4.
364; 7 de febrero de 2011, 9:20 p.m.
Manuel Alejandro dijo...: 4: 364; 7 de febrero de 2011, 9:22 p.m.
Flavio dijo...: p7 = 997; 7 de febrero de 2011, 9:25 p.m.
Adán dijo...: Problema 7. $997$; 7 de febrero de 2011, 9:25 p.m.
David (sirio11) dijo...: TIEMPO !!!!!!!!!!!!!!; 7 de febrero de 2011, 9:30 p.m.
Manuel Alejandro dijo...: k tristeza... kiza hubiera salido mejor no contestar nada :(; 7 de febrero de 2011, 9:31 p.m.
Adán dijo...: haha, vas a ver David, dijiste que subías los puntajes de exámenes anteriores antes de este examen; 7 de febrero de 2011, 9:33 p.m.
jorge garza vargas dijo...: cual era la respuesta en el problema 5?; 7 de febrero de 2011, 9:33 p.m.
Manuel Alejandro dijo...: y por fin los resultados cuando estarán ¿?; 7 de febrero de 2011, 9:33 p.m.
Manuel Alejandro dijo...: según yo 528; 7 de febrero de 2011, 9:34 p.m.
David (sirio11) dijo...: ando en Las Vegas trabajando, denme chance de regresar; 7 de febrero de 2011, 9:34 p.m.
Karina =) dijo...: :(; 7 de febrero de 2011, 9:35 p.m.
David (sirio11) dijo...: Pr 5: 528; 7 de febrero de 2011, 9:36 p.m.

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