jueves, 24 de febrero de 2011

Problem del Día - 25 de febrero

Demuestra que existe sólo una pareja de enteros positivos $a$ y $n$ tal que
$$a^{n+1} -(a+1)^n = 2001. $$
Posted by Enrique Treviño at 11:21 p.m.
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6 comentarios:

Flavio dijo...

viendo modulo a, tenemos que el lado derecho queda como -1 y el izquierdo como 2001, entonces
$-1 \equiv 2001 \pmod{a}$ y luego a|2002. Pero luego viendo modulo a+1, nos queda que
$(-1)^{n+1} \equiv 2001 \pmod{a+1}$ entonces
a+1|2001+(-1)^n ahora veamos los posibles valores de a, que son los divisores de 2002.
1 14 143 2002
2 22 154
7 26 182
11 77 286
13 91 1001
Luego modulo a+1, a+1 debe dividir a 2002 o a 2000 los casos en que a+1 divide a 2002 y n es par son cuando a=1 o a=13, y cuando a+1 divide a 2000y n es impar son a=1, a=7, y checaremos esos casos
Si a=1 queremos que $1-(2)^n = 2001$, pero el lado izquierdo es menor o igual a cero. entonces no hay solucion con a=1. para a=7,queremos que
$7^{n+1}-8^n=2001$con n impar. En el otro caso queda $13^{n+1}-14^n=2001$ con n par.
Para el primer caso veamoslo modulo 3, como n impar y 7 es 1 y 8 es 2 modulo 3 y 2001 es multiplo de 3, queremos que
$1-2^n\equiv 0 \pmod{3}$, como n impar 2^n congruente con 2 modulo 3, entonces el lado izquierdo queda como -1 modulo 3, entonces no se puede, y solo nos queda el segundo caso:
$13^{n+1}-14^n=2001$ con n par. En este caso veamos que con n=2, queda
$13^3-14^2=2197-196=2001$. Ahora veremos que no hay otra solucion. Como n es positivo y par, solo nos queda checar que n>=4 no puede ser. si n>=4, entonces 8|14^n y modulo 8 queda $13^{n+1}\equiv 2001\equiv 1 \pmod{8}$, sabiendo que n es par $13\equiv 5 \pmod{8}$,
$13^2\equiv 5^2 \equiv 25\equiv 1 \pmod{8}$ luego como n es par, entonces
$13^{n+1}\equiv 13\equiv 5\pmod{8}$, pero queremos que sea 1 modulo 8, entonces no se puede n>2. Entonces la unica solucion es a=13 y n=2.

25 de febrero de 2011, 3:10 p.m.
Enrique Treviño dijo...

Muy bien Flavio.

25 de febrero de 2011, 6:36 p.m.
Anónimo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
25 de febrero de 2011, 10:40 p.m.
Anónimo dijo...

Viendo módulo a, podemos ver que $0\equiv 2002(mod a)$, de modo que $a|2002$ entonces podemos revisar una cantidad finita y muy pequela de casos, ya que $2002=2 x 7 x 11 x 13$. Primero vemos que $a=1$ no funciona puesto que $-2^{n}=2000$ no tiene solucion entera, entonces consideraremos que $a\geq 2$. Luego, si analizamos módulo $a+1$ podemos ver que $(-1)^{n+1}\equiv 2001(mod a+1)$ de modo que podemos separar en dos casos: Si $n$ es impar, veamos que:
$2000\equiv 0(mod a+1)$ por lo que $a+1|2000$, y como $2000=2^{4}5^{3}$ entonces para los posibles valores de $a$, necesitamso que al sumarle uno sea de la forma $2^{k_{1}}5^{k_{2}}$ lo cual sólo se da si $a=7$. Ahora veamos módulo 3 que nos queda que $1^{n+1}-2^{n}\equiv 0(mod 3)$ de donde vemos que $2|n$ pero es una contradicción.
Si $n$ es par, veams que $2002\equiv 0(mod a+1)$ por lo que como $(a,a+1)=1$ y como $a|2002$ y $a+1|2002$ entonces si $a\geq 77$ el mayor valor posible de $a+1$ sería menos al de $a$ y eso no es posible, por lo que $a<77$ y entonces $a\leq 26$ y para los posibles valores de $a$, al sumarle uno, ese número debe dividir también a 2002, y vemos que sólo es posible si $a=13$. Como $2|n$ veamos si funciona con $n=2$, $13^{3}-14^{2}=2001 \Leftrightarrow 2197 - 196=2001$ lo cual es cierto y entonces, ya encontramos la solución. Probemos que no hay otro $n$ para el cual esto funciona: Si lo hubiera, esa sería mayor o igual a 4, lo que significa que $16|14^{n}$ por lo que módulo 16, podemos ver que $13^{n+1}\equiv 2001\equiv 1(mod 16)$ y como $n$ es par, significa que $(-3)^{n+1}\equiv 1(mod 16)$ sin embargo, sabemos que los residuos de los exponentes de $-3$ módulo 16, son $-3, 9, 5, 1$ por lo que sólo es posible cuando $n+1\equiv 0(mod 4)$ pero $n$ es par, por lo que no es posible esto y la única respuesta es cuando $a=13$ y cuando $n=2$.

25 de febrero de 2011, 10:41 p.m.
Manuel Alejandro dijo...

Lo primero que notaremos es que como 2001 es múltiplo de 3, si a o a+1 fuera múltiplo de 3, el otro sería también múltiplo de tres, pero no hay dos números seguidos que sean múltiplos de 3, así que $a\equiv1(mod.3)$ y $a+1\equiv2(mod.3)$. Ahora vemos que $a^{n+1}-(a+1)^{n}\equiv2001(mod.3)\Rightarrow1^{n}-(-1)^{n+1}\equiv0(mod.3)\Rightarrow1\equiv(-1)^{n}(mod.3)$ de lo que determinamos que n es par. Ahora, notamos que $a^{n+1}\equiv2001(mod.a+1)\Rightarrow(-1)^{n+1}\equiv2001(mod.a+1)\Rightarrow-1\equiv2001(mod.a+1)$, de lo que observamos que (a+1)|2002. De manera semejante deducimos que a|2002. Los divisores de 2002 son 1, 2, 7, 11, 13, 14, 22, 26, 77, 91, 143, 154, 182, 386, 1001 y 2002, y como buscamos dos números consecutivos, las posibilidades son a=1 ó a=13. Analizaremos los dos casos.

Si $a=1\Rightarrow a^{n+1}-(a+1)^{n}=1-2^{n}=2001\Rightarrow0=2000+2^{n}$, pero ambos son mayores a 0, contradicción.

Si $a=13\Rightarrow13^{n+1}-14^{n}=2001$. Como n es par, el primer caso es n=2, de lo que obtienes que $13^{3}-14^{2}=2197-196=2001$. Ahora demostraré que para n>2, no se cumplirá. Para ello, suponemos que si existe algún $d\neq2$ tal que $13^{d+1}-14{}^{d}=2001$, y notamos que $2001\equiv1(mod8)$, $13^{2k+1}\equiv5(mod8)$, y por lo tanto se tendría que $14^{d}\equiv4(mod.8)$, pero eso sólo sucede cuando d=2, entonces es la única posibilidad.

26 de febrero de 2011, 10:38 p.m.
Enrique Treviño dijo...

Muy bien Jorge y Manuel Alejandro.

27 de febrero de 2011, 1:48 p.m.

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