Perdón. Se me pasó subir el problema ayer.
P. Sin usar el Teorema de Fermat, demuestra que $x^n+(x+2)^n+(2-x)^n=0$ no tiene solución en los enteros.
viernes, 18 de febrero de 2011
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14 comentarios:
Este problema es de una APMO. Aún no se demostraba el Teorema de Fermat.
¿"x" y "n" ambos enteros?
Sí. n entero positivo, x entero cualquiera
Mmm, si hay solución en los enteros...
con $x=-4$ y $n=1$ tenemos que $(-4)^1+(-2)^1+(-2)^1+6^1=-4-2+6=0$, contradiccion?
pero sí hay solución en los enteros... $n=1$ y $x=-4$ funciona....
Esq el problema es encuentra el número de soluciones. Q ya la encontraron.
notamos que si n es par el lado izquierdo sera la suma de cuadrados distintos y por lo tanto será mayor a 0, por lo tanto n es impar.
vemos $mod2$ y notamos que $x$ tiene que ser par, sea $x=2k$ entonces $(2^n)k^n + (2^n)(k+1)^n + (2^n)(1-k)^n = 0$ que al dividir entre $2^n$ implica que $k^n + (k+1)^n + (1-k)^n = 0$ viendo $mod k$ nos queda que $2 = 0 (mod k)$ y por lo tanto hay 4 casos:
1)$k=1$ nos da que $1 + 2^n = 0$ y no se puede,
2)$k=-1$ nos queda $-1+ 2^n = 0$ y no se puede,
3)$k=2$ nos queda $2^n +3^n -1 =0$ y no se puede,
4)$k=-2$ nos queda $-2^n -1 +3^n =0$ y esta igualdad solo se cumple si n=1 ya que para n mayor a $1$ $3^n$ crece mucho mas rápido que $2^n$ y por lo tanto la unica solucion es $x=2k=-4$ y $n=1$
Veamos primero que si $2|n$ entonces el lado izquierdo es suma de cuadrados con al menos uno distinto de $0$ y por lo tanto es positivo, mientras que el otro lado es $0$ así que $n$ no puede ser par. Ahora veamos que $x^{n}+(2+x)^{n}+(2-x)^{n}\equiv 3x\equiv x(mod 2)$ por lo que $x$ debe ser par.
Sea $x=2y$ ahora veamos que eso se traduce a que $2^{n}y^{n}+2^{n}(1+y)^{n}+2^{n}(1-y)^{n}=0$ entonces podemos dividir entre $2^{n}$ en ambos lados, obteniendo que $y^{n}+(1+y)^{n}+(1-y)^{n}=0$ que es igual a $y^{n}+(y+1)^{n}-(y-1)^{n}=0$ y como $k$ divide al primer término del lado izquierdo y divide al lado derecho, entonces divide a la suma de los otros dos términos, pero como vimos que $n$ es impar, entonces significa que $1-(-1)\equiv 0 (mod y)$ de donde vemos que $y$ puede ser $\pm 1$, $\pm 2$ ó $0$. Si $y=0$ claramente nunca se cumple, puesto que $2^{n}+2^{n}=0$ y no existe un $n$ en los enteros que lo cumpla. Ahora veamos qué pasa si $y=\pm 1$, veamos que esto significa que $\pm 2^{n} \pm 4^{n}=0$ ya que $n$ es impar, y desde luego como esto equivale a $\pm 2^{n}(2^{n}+1)=0$ dividimos entre $2^{n}$ en ambos lados y vemos que $\pm 2^{n}=-1$ lo cual desde luego no tiene sentido para $n$ en los enteros. Ahora veamos qué pasa si $y=2$. Esto significa que $4^{n}+6^{n}-2^{n}=0$ pero claramente, en el lado izquierdo, los valores positivos son mayores estrictos al negativo, por lo que no pueden sumar $0$ si $n$ es entero. Ahora veamos que si $y=-2$ entonces obtenemos que $-4^{n}-2^{n}+6^{n}=0$ de donde vemos que $3^{n}-2^{n}=1$ y podemos ver que el lado izquierdo siempre aumenta, ya que si $n=1$ entonces se cumple, y conforme $n$ crece, los valores de $3^{n}$ crecen más rápidamente que los de $2^{n}$, visto de otra manera, como $n$ es impar y es mayor a 1 (porque con $n=1$ ya lo probamos) entonces veamos que $3^{n-2}>2^{n-2}$ con $n>2$, y como $3^{2}>2^{2}+1$ entonces, para $n>2$ no funciona la igualdad, y la única solución es la de $x=-4$ y $n=1$.
perdón, ahí puse que una cosa no tenía sentido para $n$ en los enteros, cuando me faltó aclarar que $n$ no sólo es entero, sino que es impar.
Primero observamos que si n es par, entonces cada uno de los tres términos es mayor o igual a 0, y como son distintos entre sí (almenos dos) entonces es positivo, de aquí que n es impar. Si x>1, entones $x^{n}>0$, $(x+2)^{n}=|x+2|^{n}>|2-x|^{n}=(x-2)^{n}\geq(2-x)^{n}$, de lo anterior llegamos a que $x^{n}+(x+2)^{n}+(2-x)^{n}>0$. Nos fijamos en que si x es impar, entonces $x^{n}+(x+2)^{n}+(2-x)^{n}$ es impar, por lo tanto x debe ser par. Si x=0, entonces $x^{n}+(x+2)^{n}+(2-x)^{n}=0+2^{n}+2^{n}>0$. Si x=-2, entonces $x^{n}+(x+2)^{n}+(2-x)^{n}=(-2)^{n}+0+4^{n}>0$. Si n=-4, entonces $x^{n}+(x+2)^{n}+(2-x)^{n}=(-4)^{n}+(-2)^{n}+6^{n}$, y para que ello sea igual a 0, necesitmo que $6^{n}=2^{n}+4^{n}$, lo cual viéndolo como la expansión del binomio de Newton, nos damos cuenta que solo sirve con n=1. Si x<-4, notamos que si existiera otro valor válido para x, se cumpliría lo siguiente: sea 2y=-x, por lo cual $x^{n}+(x+2)^{n}+(2-x)^{n}=(-2y)^{n}+(2-2y)^{n}+(2+2y)^{n}=0\Rightarrow$ $(2+2y)^{n}=(2y)^{n}+(2y-2)^{n}\Rightarrow(1+y)^{n}=y^{n}+(y-1)^{n}$, lo cual viéndolo módulo y, es obviamente falso si $y\nmid2$, con lo cual, ya hemos checado todos los casos. y sólo se puede x=-4 y n=1.
por el teorema de la raiz racional, como x es raiz de ese polinomio y aparte es entero, entonces x divide al termino independiente del polinomio $x^n+(x+2)^n+(2-x)^n$ que es
$2^n+2^n=2^{n+1}$. En resumen
$x=+-2^k con k\le n+1$
pero si x es positivo, entonces $(x+2)>abs(2-x)$ entonces $(x+2)^n>abs(2-x)^n$ entonces
$x^n+(x+2)^n+(2-x)^n>x^n+(x+2)^n-abs(2-x)^n>0$
entonces no se puede dar la igualdad. Entonces x=-2^k. Luego n es impar por que si fuera par todos los terminos de la suma serian mayores o iguales a cero pero no todoas al mismo tiempo cero. Entonces la igualdad se convierte, despues de ciertas manipulaciones, en :
$2^{kn}+(2^k-2)^n=(2^k+2)^n$ Luego si k=0 no hay solucion y k=1 tampoco. Luego si suponemos $k>2$ y dividir entre 2^n. Si hacemos $t=k-1$ queda
$2^{tn}+(2^t-1)^n=(2^t+1)^n$ Luego t>1 y t>=2
y usando modulo 4 nos queda $(-1)^n \equiv 1^n$ pero como n es impar eso no se puede. Entonces k=2 y x=-4. Luego la igualdad se convierte en $2^n+4^n=6^n$ pero notamos que 6=4+2 y sustituimos y desarrollamos con binomio de newton. si n>1 entonces existen terminos positivos entre los terminos $2^n$ y $4^n$ de la expansion del binomio a la n, entonces $6^n>4^n+2^n$ si n>1. Entonces no se puede dar y n=1. Entonces x=-4 y n=1 y checamos y si es solucion, y es la unica que cumple.
Bueno, como yo no sé usar los eso que hace que aparezcan las notaciones matemáticas a n en r la llamaré como en mi calculadora: nCr.
Primero: x, 2-x y x+2 tienen la misma paridad. Por esto, para que todo sea 0, x tiene que ser par.
Ahora, si n es par, entonces x^n + (2-x)^n + (x+2)^n sería mayor o igual a 0. La única forma en que fueran iguales a 0 es que todas fueran 0. Y si x = 0, entonces x + 2 no es 0. Ergo, n es impar.
Digamos que x = 2k:
x^n + (2-x)^n + (x+2)^n =
(2k)^n + (2[1-k])^n + (2[k+1])^n = 0
2^n * k^n + 2^n * (1-k)^n + 2^n * (k+1)^n = 0
2^n[k^n + (1-k)^n + (k+1)^n] = 0
k^n + (1-k)^n + (k+1)^n = 0
Ahora (recordemos que n es impar):
(k+1)^n = (nC0)k^n + (nC1)k^(n-1) + (nC2)k^(n-2) + ... + (nCn)k^0
(1-k)^n = -(nC0)k^n + (nC1)k^(n-1) - (nC2)k^(n-2) + ... -(nC[n-1])k + (nCn)k^0
k^n = k^n
Al sumarlas, obtenemos:
k^n + 2(nC1)k^(n-1) + 2(nC3)k^(n-3) + ... + 2(nC[n-2])k^2 + 2(nCn) = 0
Podemos ver que todo es múltiplo de k menos 2(nCn) [incluyendo el 0]. Por esta razón, 2 debe ser dividido por k. Esto significa que k es 1, 2, -1 o -2.
1:
(1*2)^n + (1*2 + 2)^n + (2 - 2*1)^n = 0
2^n + 4^n + 0^n = 0
pero eso claramente es mayor que 0.
2:
(2*2)^n + (2*2 + 2)^n + (2 - 2*2)^n = 0
4^n + 6^n + (-2)^n = 0
Pero es claro que |4^n + 6^n| > |(-2)^n)| tomando en cuenta que n es impar
-1:
([-1]*2)^n + ([-1]2 + 2)^n + (2 - [-1]2)^n = 0
(-2)^n + 4^n = 0 y eso no se puede
-2:
([-2]2)^n + ([-2]2 + 2)^n + (2 - [-2]2)^n = 0
(-4)^n + (-2)^n + 6^n = 0
6^n = 4^n + 2^n
3^n = 2^n + 1
y sabemos que para n = 1 se cumple y cuando la n aumenta el 3^n va mucho más rápido que el 2
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