martes, 1 de febrero de 2011
Problema del Día: Martes 1ro de Febrero
Con un triángulo dado, construimos 3 puntos nuevos reflejando cada vértice con respecto al lado opuesto del triángulo. Demuestre que estos 3 nuevos puntos son colineales si y sólo si la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo es igual al diámetro del circuncírculo del triángulo.
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2 comentarios:
Esta padre el problema!
Sea ABC el triangulo dado, H su ortocentro, O su circuncentro, G su gravicentro, M,N,P los puntos medios de BC,CA,AB respectivamente, Q,R,S las reflexiones de A,B,C en BC,CA,AB respectivamente y r el circunradio de ABC.
Consideremos el triangulo A'B'C' tal que ABC sea el triangulo medial de A'B'C'.
Es conocido que el circuncentro de un triangulo es el ortocentro de su triangulo medial, por lo tanto H es el circuncentro de A'B'C' y como ABC y A'B'C' son semejantes en razon 2 a 1, el circunradio de A'B'C' es 2r.
Por lo tanto OH=2r si y solo si O esta en la circunferencia circunscrita de A'B'C'.
Sean Q',R',S' las proyecciones de O en los lados B'C',C'A',A'B'. Por el teorema de simpson O esta en el circuncentro de A'B'C' si y solo si sus proyecciones, P',Q',R' son colineales.
Pero veamos que como B'C' es paralela a BC y M,Q' son las proyecciones de O a M y Q' entonces M,O,Q' son colineales.
Pero entonces A,Q',M y la proyeccionen de A en BC forman un rectangulo, por lo que de aqui sacamos que 2Q'M=AQ' y por lo tanto como AG=2GM y AQ es paralela a Q'M entonces los triangulos AGQ y MGQ' son semejantes.
Por lo tanto si consideramos la homotecia con centro G y razon -1/2 esta va a mandar a A a M, B a N, C a P y Q a Q', analogamente vemos que manda a P a P' y S a S'. Por lo tanto, por la homotecia, P',Q',R' son colineales si y solo si P,Q,R lo son.
En conclusión OH=2r, si y solo si O esta en el la circunferencia circunscrita de A'B'C', si y solo si por Simpson Q',R',S' son colineales, si y solo si, por homotecia Q,R,S son colineales.
sea ABC el triangulo A1,B1,C1 los respectivos puntos reflejados, y G,H,O el gravicentro, circuncentro y ortocentro repectivamente.
Sea l,m,n las paralelas a BC,CA,AB que pasan por A1,B1,C1 respectivamente.
Llamemosle P a la interseccion de L con AG, M al punto medio de BC y Q al pie de la altura desde A a BC) sabemos que GM/MP=(GM/AM)(AM/MP)=1/3(AQ/QA1)=1/3, por lo tanto la razon entre G y dos puntos colineales con G en las paralelas l y BC(un punto en cada recta) es 1/3, sera la misma razon desde G con AC y m, y AB y n
si A2,B2 yC2 son respectivamente la inteseccion de m,n,l con n,l,m entonces los triangulos ABC y A2B2C2 son homoteticos desde G en razón 1/4.
Sean R y r los respectivos circunradios de los triangulos A2B2C2 y ABC, sea O1 es el circuncentro del triangulo A2B2C2
sabemos que GO1=4GO, R=4r y que 2OH=3HG=6GO
Si A1,B1,C1 son colineales, como son los pies de las perpendiculares desde H sobre los lados del tringulo A2B2C2, por simson H esta en el circuncirculo de este triangulo y por lo tanto O1H=R=4r, ademas sabemos que GO1=4GO y que 2OH=3HG=6GO por lo que 2OH=6GO=GO1+HG=O1H=4r que implica que OH=2r que es lo que queriamos, y podemos hacer el regeso, si OH=2r
entonces O1H=R y por simson los pies de las perpendiculares del tringulo A2B2C2 (A1,B1 y C1) son colinales.
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