jueves, 31 de marzo de 2011
Cortes
Hola a Todos Despues de revisar los examenes de marzo, les mando la lista de las 9 personas que califican al entrenamiento de mayo (selectivos para la IMO) con la siguiente notacion nombre, puntuacion de marzo, p. de marzo * 1.44, Total Daniel 53 76.32 193.92 Flavio 50 72 189.6 Diego 48 69.12 180.92 Jorge G. V. 42 60.48 167.28 Georges 39 56.16 164.56 Nain 35 50.4 140.2 Jose Ra 28 40.32 133.12 Manuel A 28 40.32 129.92 Jorge G. C. 21 30.24 126.84 Las dos personas eliminadas son Enrique 13 18.72 121.12 Fernando 19 27.36 112.36
Algunos problemas interesantes de polinomios
Hola a todos.
Para una clase que estoy dando en la UNAM (Seminario de Resolución de Problemas), chequé algunas cosas de polinomios, y me encontré con algunos problemas bonitos y de dificultad distinta. Se los dejo a continuación para que practiquen lo que vieron con Carlitos.
1. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ y $a$ un entero. Muestra que $f(a)$ divide a $f(a+f(a))$. Muestra que si $f$ no es constante, entonces existe un $a\in \mathbb{Z}$ para el cual $f(a)$ no es primo. Muestra que $f(a)$ divide a $f(a+kf(a))$ para cualquier entero $k$.
2. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ de modo que hay una infinidad de valores enteros $a$ para los cuales $f(a)$ es primo. Muestra que $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.
3. Un polinomio $p(x)$ de grado $n$ cumple que $p(i)=2^i$ para $i=0,1,\ldots, n$. Encuentra el valor de $p(n+1)$
4. Encuentra un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros de modo que para cada entero $n$ se tiene que $p(n)+4^n$ es divisible entre $27$.
5. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ y $a$ y $b$ dos enteros distintos con $\gcd(f(a), f(b))=1$. Muestra que existe una infinidad de enteros de modo que sus valores en $f$ son primos relativos por parejas.
6. Muestra que $f(x)=x^6-6x^5+15x^4+x^2-38x+37$ es un polinomio irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.
7. Un punto en el plano es "mixto" si una de sus coordenadas es racional y la otra irracional. Encuentra todos los polinomios con coeficientes reales de modo que sus gráficas no tengan puntos mixtos.
8. Sean $x$, $y$ y $z$ reales con $x+y+z=0$. Muestra que:
$\frac{x^5+y^5+z^5}{5}=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{2}$
9. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$. Muestra que para cualquier entero positivo $k$ hay un $a$ entero para el cual $f(a)$ tiene al menos $k$ divisores primos distintos.
10. Sea $f$ un polinomio con coeficientes reales. Muestra que $f$ se puede escribir de la forma $f^2=g^2+h^2$ con $g$ y $h$ de coeficientes reales y grado distinto si y sólo si $f$ tiene raíces no reales.
11. Encuentra todos los $f\in \mathbb{Z}[x]$ de grado $n\geq 6$ para los cuales existen $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ enteros distintos con $f(a_i)^2=1$ para toda $i=1,2,\ldots, n$.
12. Sea $\alpha \in \mathbb{R}$ con $|\alpha|<1$. Sean $n>k\geq 0$ enteros. Muestra que todas las raíces (quizás complejas) de $x^n+\alpha x^{n-k}+\alpha x^k +1$ tienen norma $1$.
Siéntanse libres de hacer los que quieran y escribir su solución. Si terminan estos les pongo otros más difíciles : ).
Para una clase que estoy dando en la UNAM (Seminario de Resolución de Problemas), chequé algunas cosas de polinomios, y me encontré con algunos problemas bonitos y de dificultad distinta. Se los dejo a continuación para que practiquen lo que vieron con Carlitos.
1. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ y $a$ un entero. Muestra que $f(a)$ divide a $f(a+f(a))$. Muestra que si $f$ no es constante, entonces existe un $a\in \mathbb{Z}$ para el cual $f(a)$ no es primo. Muestra que $f(a)$ divide a $f(a+kf(a))$ para cualquier entero $k$.
2. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ de modo que hay una infinidad de valores enteros $a$ para los cuales $f(a)$ es primo. Muestra que $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.
3. Un polinomio $p(x)$ de grado $n$ cumple que $p(i)=2^i$ para $i=0,1,\ldots, n$. Encuentra el valor de $p(n+1)$
4. Encuentra un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros de modo que para cada entero $n$ se tiene que $p(n)+4^n$ es divisible entre $27$.
5. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$ y $a$ y $b$ dos enteros distintos con $\gcd(f(a), f(b))=1$. Muestra que existe una infinidad de enteros de modo que sus valores en $f$ son primos relativos por parejas.
6. Muestra que $f(x)=x^6-6x^5+15x^4+x^2-38x+37$ es un polinomio irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.
7. Un punto en el plano es "mixto" si una de sus coordenadas es racional y la otra irracional. Encuentra todos los polinomios con coeficientes reales de modo que sus gráficas no tengan puntos mixtos.
8. Sean $x$, $y$ y $z$ reales con $x+y+z=0$. Muestra que:
$\frac{x^5+y^5+z^5}{5}=\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{2}$
9. Sea $f\in \mathbb{Z}[x]$. Muestra que para cualquier entero positivo $k$ hay un $a$ entero para el cual $f(a)$ tiene al menos $k$ divisores primos distintos.
10. Sea $f$ un polinomio con coeficientes reales. Muestra que $f$ se puede escribir de la forma $f^2=g^2+h^2$ con $g$ y $h$ de coeficientes reales y grado distinto si y sólo si $f$ tiene raíces no reales.
11. Encuentra todos los $f\in \mathbb{Z}[x]$ de grado $n\geq 6$ para los cuales existen $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ enteros distintos con $f(a_i)^2=1$ para toda $i=1,2,\ldots, n$.
12. Sea $\alpha \in \mathbb{R}$ con $|\alpha|<1$. Sean $n>k\geq 0$ enteros. Muestra que todas las raíces (quizás complejas) de $x^n+\alpha x^{n-k}+\alpha x^k +1$ tienen norma $1$.
Siéntanse libres de hacer los que quieran y escribir su solución. Si terminan estos les pongo otros más difíciles : ).
Problema del día: Un poco de particiones
Sea $c(n)$ la cantidad de formas de escribir al entero positivo $n$ (sin contar el orden) como suma de enteros positivos, de modo que cualesquiera dos sumandos difieren al menos en dos. Sea $d(n)$ la cantidad de formas de escribir $n$ (sin contar el orden) como suma de algunos enteros positivos de la forma $5k+1$ o $5k-1$.
Por ejemplo, $c(10)=6$, pues $10=9+1=8+2=7+3=6+4=6+3+1$ (nota que estamos contando $10$ como una forma) y $d(10)=6$, pues $10=9+1=6+4=6+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1$
$=4+1+1+1+1+1+1=4+4+1$ (aquí no cuenta $10$ pues no es de la forma deseada).
Muestra que para todo entero positivo $n$ se tiene $c(n)=d(n)$.
Por ejemplo, $c(10)=6$, pues $10=9+1=8+2=7+3=6+4=6+3+1$ (nota que estamos contando $10$ como una forma) y $d(10)=6$, pues $10=9+1=6+4=6+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1$
$=4+1+1+1+1+1+1=4+4+1$ (aquí no cuenta $10$ pues no es de la forma deseada).
Muestra que para todo entero positivo $n$ se tiene $c(n)=d(n)$.
Problema del día: Jueves 31 de marzo del 2011, Algebra
Sean $x$ y $y$ numeros reales con $y \geq 0$. Muestra que si
$y(y + 1) \leq (x + 1)^2$, entonces $y(y-1) \leq x^2$.
$y(y + 1) \leq (x + 1)^2$, entonces $y(y-1) \leq x^2$.
martes, 29 de marzo de 2011
Problema del día - Martes 29 de marzo de 2011 - GEO
El triángulo $ABC$ tiene excentros $I_a$, $I_b$, $I_c$. Los ortocentros de los triángulos $I_aBC$, $I_bCA$ e $I_cAB$ son $H_a$, $H_b$ y $H_c$, respectivamente. Muestra que las líneas $AH_a$, $BH_b$ y $CH_c$ concurren y que el punto de concurrencia está sobre la línea que une el incentro y el gravicentro del triángulo $ABC$.
lunes, 28 de marzo de 2011
¿¿¿???
Habrá algo así como competencia de primavera, o los lunes estará vacío el blog o se va a subir problemas
domingo, 27 de marzo de 2011
El cuadrado de 2x2
Hola a todos. Si recuerdan, cuando fue el entrenamiento en Guanajuato les puse un problema por el cual invitaba una cena de 50 pesos al primero en resolverlo. El problema consistía en ver que si 9 puntos se colocan en un cuadrado de $2\times 2$, entonces hay dos de ellos a distancia menor o igual a $1$. El problema salió en el Crux Mathematicorum de hace algunos años y citaban como fuente original al concurso de San Petesburgo, sin embargo no daban solución.
Tras dos días intensos de intentarlo y de varias falsas alarmas de resolverlo, finalmente Yogui y yo llegamos a una solución que iteraba un proceso para encontrar cuadros más pequeños en los cuales se encontraban los puntos. Les escribo para contarles que encontré finalmente una solución en internet, y resulta que es básicamente lo que nosotros hacíamos. La pueden leer con calma en http://cms.math.ca/cmb/v8/cmb1965v08.0273-0277.pdf . Les advierto que es fea para estándares olímpicos, pero está padre saber cómo se hace ese problema.
Ahora, ¿por qué esto llegó a una olimpiada rusa? Ahí si no tengo ni idea.
Saludos
Tras dos días intensos de intentarlo y de varias falsas alarmas de resolverlo, finalmente Yogui y yo llegamos a una solución que iteraba un proceso para encontrar cuadros más pequeños en los cuales se encontraban los puntos. Les escribo para contarles que encontré finalmente una solución en internet, y resulta que es básicamente lo que nosotros hacíamos. La pueden leer con calma en http://cms.math.ca/cmb/v8/cmb1965v08.0273-0277.pdf . Les advierto que es fea para estándares olímpicos, pero está padre saber cómo se hace ese problema.
Ahora, ¿por qué esto llegó a una olimpiada rusa? Ahí si no tengo ni idea.
Saludos
sábado, 26 de marzo de 2011
Lounge Olímpico: La fuerza de su pasión
Y aquí estoy escribiendo un lounge mas, quiero pensar que lo escribo dirigido a nuestros queridos olímpicos, pero la realidad es que al final de cuentas lo escribo mas por mi, por mi deseo de expresarme en este foro, de ventilar algunas ideas, creo que es sano psicologicamente : ) .
No les voy a mentir, la razón por la que ya no había puesto posts en el lounge, es porque la participación era mínima, los que si participaban, participaban excelentemente, Jorge Chuck, Manuel, Fernando, Karina, pero la mayoría quizás ni siquiera lo leían y si lo leían no los motivaba lo suficiente como para participar, la ultima vez que lo pusimos el 12 de Febrero, tanto Rogelio como yo pusimos un post y un gran total de 3 olímpicos participaron entre los 2 posts. Claramente no les llamaba lo suficientemente la atención como para motivarlos a participar; y pues el hecho de que la mayoría de ustedes no participen por x o y o z razón nos desmotiva a nosotros.
Los problemas del día tienen mas participación, pero no la suficiente que esperaríamos de una selección mexicana preparándose para la IMO, hay un grupo que trabaja excelentemente y claramente esta motivado, mientras que otro grupo brilla por su ausencia y solo son seleccionados en época de entrenamientos, cuando viajan a Colima o Guanajuato o Morelia; es como si en la selección nacional de fútbol hubiera algunos que deciden nomas echarle ganas ahí de vez en cuando; ¿creen que el cuerpo técnico de la selección mantendría en el equipo (por mas buenos jugadores que fueran) a seleccionados que tuvieran esa actitud de no dar el 100% y solo comportarse como seleccionados nacionales ahí de vez en vez?.
La competencia de invierno es la que mas participación tiene de las cosas del blog, quizás por el formato sea mas entretenida y también la participación es mas fácil, y por lo tanto es fácil motivarse.
Todo esto me lleva a la reflexión de que es lo que nos motiva, que es lo que nos mueve a participar; y no solo lo digo por ustedes los olímpicos, sino también por nosotros los entrenadores y comité; ¿cuales son las fuerzas que nos mantienen activos?, ¿para que hacer las cosas?
Desde el entrenamiento de Colima traía ya esta reflexión, para mi fue un periodo difícil, pues a pesar de que me encanta ir a los entrenamientos nacionales, a finales de Enero estaba pasando por un periodo complicado, eso aunado a unos medicamentos que me cambiaron un poco antes del entrenamiento y que prácticamente me traían funcionando al 25%, (con dificultad me podía concentrar, la mayor parte del tiempo andaba mareado y mi mente divagando), estando allá me preguntaba, que demonios ando haciendo aquí?, no me siento bien física ni emocionalmente, ademas podría estar en la tranquilidad de mi casa, reposando y haciendo esas pequeñas cosas de la rutina diaria que adoro con mi esposa, con mis niños. ¿Cual es la fuerza que me hizo asistir a pesar de los inconvenientes?
Parte de la razón es que la olimpiada es una especie de droga, los que hemos estado mucho tiempo expuestos a ella no la podemos dejar y la necesitamos así como el borracho necesita su trago y parte también es el sentimiento de trascendencia, esa parte de nosotros los humanos que espera hacer cambios importantes, estar presente y poner tu granito de arena en algo que consideras tiene una trascendencia mas allá de ti, es difícil definirlo, pero cuando llegas a estar en la situación trascendental, la reconoces, te dejas llevar por su fuerza arrolladora y simplemente tratas de hacer tu parte.
Ustedes se han preguntado, ¿porque hay un grupo grande de gente trabajando montones de horas para que la Olimpiada funcione?, que es lo que mueve a Mila a trabajar incansablemente durante años y años, a Ana, a Toño, a Rogelio; a todos los muchachos del comité, a Fernando, al Niño, a Leonardo, al Chino, al Gato, a Hugo, a Jeronimo, a Octavio, a Irving y a tantos mas de los cuales depende que todas y cada una de las etapas de la olimpiada funcione, desde los concursos regionales hasta llegar a la Internacional. ¿Han pensado en todo el trabajo que se hace por cientos de personas para que ustedes puedan llegar a la IMO?, ¿Que es lo que mantiene motivado a ese conjunto enorme de gente?, porque Mila de repente no dice, "ahora no tengo ganas de conseguir presupuesto para el nacional de este año, o solo conseguí una parte, así que pues al nacional nomas van los estados que empiecen de la A a la M", "ni ganas de conseguir lana para los entrenamientos de los IMOs, así que, pues fácil, que no haya entrenamientos; y pues a ver si ando de humor para conseguir el presupuesto para ir a la IMO, si no, pues que no vaya México este año", o Rogelio, "ando cansadon, se me hace que estos entrenamientos de Mayo no los organizamos", o al Niño, o Fernando o Leonardo o cualquiera de los que les han revisado problemas, porque no dicen, "bueno, tengo que revisar 16 exámenes, pero como que nomas traigo energía para revisar 4, así que pues nada mas reviso 4"
Algunos de ustedes seguramente tienen sus razones para solo tener "ganas" o energía para hacer 3 de 24 problemas del día en el blog, o algunos CERO (cero !!!!, han hecho tantos problemas del blog como Shakira o Lady Gaga), porque pues son gente muy ocupada, a su edad y ya tienen múltiples ocupaciones y preocupaciones que les impiden trabajar lo suficiente en los problemas. Múltiples ocupaciones que al parecer no tienen gente mucho mas grande que ustedes, muchos de ellos estudiando la Universidad y trabajando y muchos otros con trabajos de tiempo completo y familia a la que no solo le tienen que proveer sustento, sino también dedicar tiempo. Por alguna razón las cosas parecen estar alreves, parece ser que se tienen muchas mas ocupaciones y preocupaciones a los 17 años, que a los 21, 25, 35, 40, 55 etc.
Claramente soy irónico, pero aguantenme un poco, puede parecer que se las estoy regando, .............. bueno, si se las estoy regando; pero hacia donde voy es hacia llevarlos al lugar que es permita encontrar sus verdaderas motivaciones, ¿que es lo que los mueve?, ¿porque están en la Olimpiada? ¿que es lo que si los hace trabajar apasionadamente y echarle todos los kilos?.
Así como les pedí que pensaran por un rato que es lo que mueve a Mila, a Rogelio, a todo esa gente que le dedica tiempo generosamente a la Olimpiada, piensen en profundidad cuales son sus motivaciones para ser olímpicos, que tipo de seleccionados son?, porque algunos de ustedes son seleccionados mexicanos de tiempo parcial?, que les hace falta para dar ese salto y convertirse en seleccionados de tiempo completo?
Bueno, este lounge ha estado muy largo y algunos ni lo leerán. Les mando un saludo a los que han logrado leer hasta aquí, si lo hicieron y el post los motivo a pensar algo, comenten !!!! (o de perdido escriban CARPE DIEM para saber que llegaron hasta aquí)
Yo creo que ustedes y nosotros tenemos claro a diferentes niveles que estamos en medio de algo especial, de alguna o de otra forma intuimos que la Olimpiada es algo trascendente y que en particular este año se van a lograr grandes cosas; y todos queremos hacer nuestra parte, por muy chica que esta sea.
Ustedes están realmente dispuestos a hacer la suya? sin excusas ni pretextos, sin llorar.
Recuerden muchachos, la fuerza de su pasión es la que determinara el nivel de su éxito. Todo aquello que nos apasionada lo hacemos con muchas ganas, le dedicamos todo el tiempo del mundo, se nos pasa el tiempo haciéndolo y ni lo sentimos, vivimos por nuestra pasión !!, quizás algunos de ustedes lo han empezado a ver como obligación y quizás sea tiempo de que re-descubran su amor por solucionar problemas olímpicos. Dejen fluir su pasión y disfruten el momento.
LA FUERZA DE SU PASIÓN ES LA QUE DETERMINARA EL NIVEL DE SU ÉXITO
No les voy a mentir, la razón por la que ya no había puesto posts en el lounge, es porque la participación era mínima, los que si participaban, participaban excelentemente, Jorge Chuck, Manuel, Fernando, Karina, pero la mayoría quizás ni siquiera lo leían y si lo leían no los motivaba lo suficiente como para participar, la ultima vez que lo pusimos el 12 de Febrero, tanto Rogelio como yo pusimos un post y un gran total de 3 olímpicos participaron entre los 2 posts. Claramente no les llamaba lo suficientemente la atención como para motivarlos a participar; y pues el hecho de que la mayoría de ustedes no participen por x o y o z razón nos desmotiva a nosotros.
Los problemas del día tienen mas participación, pero no la suficiente que esperaríamos de una selección mexicana preparándose para la IMO, hay un grupo que trabaja excelentemente y claramente esta motivado, mientras que otro grupo brilla por su ausencia y solo son seleccionados en época de entrenamientos, cuando viajan a Colima o Guanajuato o Morelia; es como si en la selección nacional de fútbol hubiera algunos que deciden nomas echarle ganas ahí de vez en cuando; ¿creen que el cuerpo técnico de la selección mantendría en el equipo (por mas buenos jugadores que fueran) a seleccionados que tuvieran esa actitud de no dar el 100% y solo comportarse como seleccionados nacionales ahí de vez en vez?.
La competencia de invierno es la que mas participación tiene de las cosas del blog, quizás por el formato sea mas entretenida y también la participación es mas fácil, y por lo tanto es fácil motivarse.
Todo esto me lleva a la reflexión de que es lo que nos motiva, que es lo que nos mueve a participar; y no solo lo digo por ustedes los olímpicos, sino también por nosotros los entrenadores y comité; ¿cuales son las fuerzas que nos mantienen activos?, ¿para que hacer las cosas?
Desde el entrenamiento de Colima traía ya esta reflexión, para mi fue un periodo difícil, pues a pesar de que me encanta ir a los entrenamientos nacionales, a finales de Enero estaba pasando por un periodo complicado, eso aunado a unos medicamentos que me cambiaron un poco antes del entrenamiento y que prácticamente me traían funcionando al 25%, (con dificultad me podía concentrar, la mayor parte del tiempo andaba mareado y mi mente divagando), estando allá me preguntaba, que demonios ando haciendo aquí?, no me siento bien física ni emocionalmente, ademas podría estar en la tranquilidad de mi casa, reposando y haciendo esas pequeñas cosas de la rutina diaria que adoro con mi esposa, con mis niños. ¿Cual es la fuerza que me hizo asistir a pesar de los inconvenientes?
Parte de la razón es que la olimpiada es una especie de droga, los que hemos estado mucho tiempo expuestos a ella no la podemos dejar y la necesitamos así como el borracho necesita su trago y parte también es el sentimiento de trascendencia, esa parte de nosotros los humanos que espera hacer cambios importantes, estar presente y poner tu granito de arena en algo que consideras tiene una trascendencia mas allá de ti, es difícil definirlo, pero cuando llegas a estar en la situación trascendental, la reconoces, te dejas llevar por su fuerza arrolladora y simplemente tratas de hacer tu parte.
Ustedes se han preguntado, ¿porque hay un grupo grande de gente trabajando montones de horas para que la Olimpiada funcione?, que es lo que mueve a Mila a trabajar incansablemente durante años y años, a Ana, a Toño, a Rogelio; a todos los muchachos del comité, a Fernando, al Niño, a Leonardo, al Chino, al Gato, a Hugo, a Jeronimo, a Octavio, a Irving y a tantos mas de los cuales depende que todas y cada una de las etapas de la olimpiada funcione, desde los concursos regionales hasta llegar a la Internacional. ¿Han pensado en todo el trabajo que se hace por cientos de personas para que ustedes puedan llegar a la IMO?, ¿Que es lo que mantiene motivado a ese conjunto enorme de gente?, porque Mila de repente no dice, "ahora no tengo ganas de conseguir presupuesto para el nacional de este año, o solo conseguí una parte, así que pues al nacional nomas van los estados que empiecen de la A a la M", "ni ganas de conseguir lana para los entrenamientos de los IMOs, así que, pues fácil, que no haya entrenamientos; y pues a ver si ando de humor para conseguir el presupuesto para ir a la IMO, si no, pues que no vaya México este año", o Rogelio, "ando cansadon, se me hace que estos entrenamientos de Mayo no los organizamos", o al Niño, o Fernando o Leonardo o cualquiera de los que les han revisado problemas, porque no dicen, "bueno, tengo que revisar 16 exámenes, pero como que nomas traigo energía para revisar 4, así que pues nada mas reviso 4"
Algunos de ustedes seguramente tienen sus razones para solo tener "ganas" o energía para hacer 3 de 24 problemas del día en el blog, o algunos CERO (cero !!!!, han hecho tantos problemas del blog como Shakira o Lady Gaga), porque pues son gente muy ocupada, a su edad y ya tienen múltiples ocupaciones y preocupaciones que les impiden trabajar lo suficiente en los problemas. Múltiples ocupaciones que al parecer no tienen gente mucho mas grande que ustedes, muchos de ellos estudiando la Universidad y trabajando y muchos otros con trabajos de tiempo completo y familia a la que no solo le tienen que proveer sustento, sino también dedicar tiempo. Por alguna razón las cosas parecen estar alreves, parece ser que se tienen muchas mas ocupaciones y preocupaciones a los 17 años, que a los 21, 25, 35, 40, 55 etc.
Claramente soy irónico, pero aguantenme un poco, puede parecer que se las estoy regando, .............. bueno, si se las estoy regando; pero hacia donde voy es hacia llevarlos al lugar que es permita encontrar sus verdaderas motivaciones, ¿que es lo que los mueve?, ¿porque están en la Olimpiada? ¿que es lo que si los hace trabajar apasionadamente y echarle todos los kilos?.
Así como les pedí que pensaran por un rato que es lo que mueve a Mila, a Rogelio, a todo esa gente que le dedica tiempo generosamente a la Olimpiada, piensen en profundidad cuales son sus motivaciones para ser olímpicos, que tipo de seleccionados son?, porque algunos de ustedes son seleccionados mexicanos de tiempo parcial?, que les hace falta para dar ese salto y convertirse en seleccionados de tiempo completo?
Bueno, este lounge ha estado muy largo y algunos ni lo leerán. Les mando un saludo a los que han logrado leer hasta aquí, si lo hicieron y el post los motivo a pensar algo, comenten !!!! (o de perdido escriban CARPE DIEM para saber que llegaron hasta aquí)
Yo creo que ustedes y nosotros tenemos claro a diferentes niveles que estamos en medio de algo especial, de alguna o de otra forma intuimos que la Olimpiada es algo trascendente y que en particular este año se van a lograr grandes cosas; y todos queremos hacer nuestra parte, por muy chica que esta sea.
Ustedes están realmente dispuestos a hacer la suya? sin excusas ni pretextos, sin llorar.
Recuerden muchachos, la fuerza de su pasión es la que determinara el nivel de su éxito. Todo aquello que nos apasionada lo hacemos con muchas ganas, le dedicamos todo el tiempo del mundo, se nos pasa el tiempo haciéndolo y ni lo sentimos, vivimos por nuestra pasión !!, quizás algunos de ustedes lo han empezado a ver como obligación y quizás sea tiempo de que re-descubran su amor por solucionar problemas olímpicos. Dejen fluir su pasión y disfruten el momento.
LA FUERZA DE SU PASIÓN ES LA QUE DETERMINARA EL NIVEL DE SU ÉXITO
viernes, 25 de marzo de 2011
Resultados APMO
Los siguientes 10 examenes se mandaran a Japon
Daniel Perales 7 7 0 4 2 20
Flavio Hernandez 7 7 2 0 2 18
Diego Roque 0 7 7 0 2 16
Georges Belanger 7 0 2 4 2 15
Fernando Añorve 7 7 0 0 0 14
Adan Medrano 7 7 0 0 0 14
Joshua Acevedo 7 7 0 0 0 14
Jose Nain Rivera 7 3 0 0 0 10
Angel A. Dominguez 7 3 0 0 0 10
Juan Carlos Ortiz 7 1 0 0 2 10
Los demas resultados
Jorge Garza 0 7 2 0 0 9
Ramon Garcia 2 6 0 0 0 8
Jose Ramon Guardiola 0 7 0 0 1 8
Jose Angel Sanchez 0 7 0 0 0 7
Marco Antonio Flores 0 7 0 0 0 7
Julio Cesar Diaz 0 3 0 0 2 5
Enrique Chiu 0 3 2 0 0 5
Jorge I. Gonzalez 0 3 0 0 1 4
Manuel A. Espinoza 0 1 0 0 1 2
Alberto Astiazaran 0 1 0 0 0 1
Angel G. Cervantes 0 0 0 0 0 0
Daniel Perales 7 7 0 4 2 20
Flavio Hernandez 7 7 2 0 2 18
Diego Roque 0 7 7 0 2 16
Georges Belanger 7 0 2 4 2 15
Fernando Añorve 7 7 0 0 0 14
Adan Medrano 7 7 0 0 0 14
Joshua Acevedo 7 7 0 0 0 14
Jose Nain Rivera 7 3 0 0 0 10
Angel A. Dominguez 7 3 0 0 0 10
Juan Carlos Ortiz 7 1 0 0 2 10
Los demas resultados
Jorge Garza 0 7 2 0 0 9
Ramon Garcia 2 6 0 0 0 8
Jose Ramon Guardiola 0 7 0 0 1 8
Jose Angel Sanchez 0 7 0 0 0 7
Marco Antonio Flores 0 7 0 0 0 7
Julio Cesar Diaz 0 3 0 0 2 5
Enrique Chiu 0 3 2 0 0 5
Jorge I. Gonzalez 0 3 0 0 1 4
Manuel A. Espinoza 0 1 0 0 1 2
Alberto Astiazaran 0 1 0 0 0 1
Angel G. Cervantes 0 0 0 0 0 0
miércoles, 23 de marzo de 2011
Problema del Día: Martes 22 de marzo de 2011
Sea $ABC$ un triángulo, con $\langle BAC = 60^\circ$. Sean $P,Q$ los pies de las perpendiculares desde $A$ a las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$, respectivamente. Si $BP=104$ y $CP=105$, ¿Cuál es el perímetro del triángulo $ABC?
Problema del Día: n-adas separadas
Sea $X$ un conjunto con $n+1$ elementos ($n\geq 2$). Las $n-$adas ordenadas $(a_1,a_2,\ldots, a_n)$ y $(b_1,b_2,\ldots, b_n)$, cada una con todos sus elementos distintos, se les llama separadas si existen índices $i\neq j$ tales que $a_i=b_j$. Encuentra el máximo número de $n-$adas de modo que cualesquiera $2$ sean separadas.
lunes, 21 de marzo de 2011
Examen 8
Problema 1. Sea $S$ el conjunto más chico de enteros con la propiedad de que $0\in S$ y si $n \in S$ entonces $3n$ y $3n+1$ también están en $S$. Determina cuántos enteros no negativos menores que 2008 hay en $S$.
Problema 2. Sea $P$ un polinomio de grado $n$ tal que para k=0,1,2,…,n, P(k)=2^k. Determina el valor de $P(n+1)$.
Problema 3. Cuatro circunferencias de radios iguales $\omega , \omega _A, \omega _B$ y $\omega _C$ se dibujan en el interior de un triángulo $ABC$ de tal forma que $\omega _A$ es tangente a $AB$ y $AC$, $\omega _B$ es tangente a $BC$ y $BA$, $\omega _C$ es tangete a $CA$ y $CB$ y $\omega$ es tangente exteriormente a las otras tres circunferencias. Si los lados de $ABC$ miden 13, 14 y 15, determina el radio de $\omega$.
Problema 4. La función $f$ satisface
\[ f(x)+f(2x+y)+5xy=f(3x-y)+2x^2+1\]
Determina $f(10)$.
Problema 5. Para cada permutación a_1, a_2,…, a_{100} de los enteros 1, 2,…, 100, se considera la suma |a_1-a_2|+|a_3-a_4|+…+|a_{99}-a_{100}|. Encuentra la media aritmética de todas estas sumas.
Problema 6. Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Sea $P$ un punto en el lado $AC$ tal que $AP=2CP$. Si $BP=1$ detérmina el valor máximo del área de $ABC$.
Problema 7. Dado que $2^{2004}$ es un número de 604 dígitos cuyo primer dígito (de la izquierda) es 1, ¿cuántos elementos del conjunto { 2^0, 2^1,…,2^{2003} } tienen primer dígito 4?
Problema 8. Una línea que pasa por un vértice de un triángulo no degenerado corta a éste en dos triángulos semejantes, en los que la razón de semejanza entre los lados correspondientes es $\sqrt{3}$. Determina los ángulos del triángulo original.
Problema 9. Una sucesión de enteros se define como $a_1=a_2=a_3=1$ y para todo entero positivo $n$, $a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n}$. Dado que $a_{28}=6090307$, $a_{29}=11201821$ y $a_{30}=20603361$, encuentra los tres últimos dígitos de a_1+a_2+…+a_{28}.
Problema 10. Sean $a,b,c$ números reales distintos de 0 tales que $a+b+c=0$ y $a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3$. Determina el valor de $a^2+b^2+c^2$.
Problema 11. Para un entero positivo $n$ sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Sea S(n) = d(1)+d(2)+…+d(n). Sea $a$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ impar y $b$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ par. Calcula $|a-b|$.
Problema 12. Sea $a_k= \frac{k^2- \frac{1}{2}}{k^4+ \frac{1}{4}}$. Calcula a_1+a_2+…+a_500.
Problema 13. ¿Para cuántos k=0,1,..,2011 se tiene que “combinaciones de 2011 en $k$” ($2011$ en $k$ ) es un número impar?
Problema 14. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ es posible partir el conjunto { n, n+1,…, n+8 } en dos conjuntos $A$ y $B$ tales que el producto de los elementos de $A$ es igual al producto de los elementos de $B$?
Problema 15. Encuentra todos los reales $x$ que satisfagan $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x+1} =0$.
Problema 2. Sea $P$ un polinomio de grado $n$ tal que para k=0,1,2,…,n, P(k)=2^k. Determina el valor de $P(n+1)$.
Problema 3. Cuatro circunferencias de radios iguales $\omega , \omega _A, \omega _B$ y $\omega _C$ se dibujan en el interior de un triángulo $ABC$ de tal forma que $\omega _A$ es tangente a $AB$ y $AC$, $\omega _B$ es tangente a $BC$ y $BA$, $\omega _C$ es tangete a $CA$ y $CB$ y $\omega$ es tangente exteriormente a las otras tres circunferencias. Si los lados de $ABC$ miden 13, 14 y 15, determina el radio de $\omega$.
Problema 4. La función $f$ satisface
\[ f(x)+f(2x+y)+5xy=f(3x-y)+2x^2+1\]
Determina $f(10)$.
Problema 5. Para cada permutación a_1, a_2,…, a_{100} de los enteros 1, 2,…, 100, se considera la suma |a_1-a_2|+|a_3-a_4|+…+|a_{99}-a_{100}|. Encuentra la media aritmética de todas estas sumas.
Problema 6. Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Sea $P$ un punto en el lado $AC$ tal que $AP=2CP$. Si $BP=1$ detérmina el valor máximo del área de $ABC$.
Problema 7. Dado que $2^{2004}$ es un número de 604 dígitos cuyo primer dígito (de la izquierda) es 1, ¿cuántos elementos del conjunto { 2^0, 2^1,…,2^{2003} } tienen primer dígito 4?
Problema 8. Una línea que pasa por un vértice de un triángulo no degenerado corta a éste en dos triángulos semejantes, en los que la razón de semejanza entre los lados correspondientes es $\sqrt{3}$. Determina los ángulos del triángulo original.
Problema 9. Una sucesión de enteros se define como $a_1=a_2=a_3=1$ y para todo entero positivo $n$, $a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n}$. Dado que $a_{28}=6090307$, $a_{29}=11201821$ y $a_{30}=20603361$, encuentra los tres últimos dígitos de a_1+a_2+…+a_{28}.
Problema 10. Sean $a,b,c$ números reales distintos de 0 tales que $a+b+c=0$ y $a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3$. Determina el valor de $a^2+b^2+c^2$.
Problema 11. Para un entero positivo $n$ sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Sea S(n) = d(1)+d(2)+…+d(n). Sea $a$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ impar y $b$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ par. Calcula $|a-b|$.
Problema 12. Sea $a_k= \frac{k^2- \frac{1}{2}}{k^4+ \frac{1}{4}}$. Calcula a_1+a_2+…+a_500.
Problema 13. ¿Para cuántos k=0,1,..,2011 se tiene que “combinaciones de 2011 en $k$” ($2011$ en $k$ ) es un número impar?
Problema 14. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ es posible partir el conjunto { n, n+1,…, n+8 } en dos conjuntos $A$ y $B$ tales que el producto de los elementos de $A$ es igual al producto de los elementos de $B$?
Problema 15. Encuentra todos los reales $x$ que satisfagan $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x+1} =0$.
RECORDATORIO: Competencia de Invierno
Les recuerdo que hoy si habrá examen de Competencia de Invierno, será a las 9:30 hora del centro, esta vez tendrán 45 minutos!
jueves, 17 de marzo de 2011
Problema del Día - 18 de marzo (NUM)
Un número capicua en base $b$ es un entero positivo cuyos dígitos en base $b$ se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, $2002$ es un $4$-dígitos capicua en base $10$. Nota que $200$ no es capicua en base $10$, pero es un $3$-dígitos capicua en base $9$ ($200 = 242$ en base $9$) y un $3$-dígitos capicua en base $7$ ($200 = 404$ en base 7). Demuestra que existe un entero que es 3-dígitos capicua en base $b$ para al menos $2002$ diferentes valores de $b$.
Participación en Problemas del día
Aquí están las tablas de su participación en los problemas del día, en azul los resultados van de buena (4) a excelente (6), en verde de mínimo satisfactorio (2) a aceptable (3) y en rojo de completamente inaceptable (0) a mediocre (1). Déjenme saber si hay alguna aclaración.
David
David
Problemas del día Miércoles 16: Diferencias 4, 5, 9 y sucesión.
a) Se tienen 70 números positivos distintos entre 1 y 200. Muestra que hay dos de ellos a diferencia $4$, $5$ ó $9$.
b) Se tiene la sucesión $1 = a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$ de enteros, de modo que $a_{n+1}\leq 2n$ para cualquier $n$ entero positivo. Muestra que cualquier entero positivo es diferencia de dos términos de la sucesión.
b) Se tiene la sucesión $1 = a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$ de enteros, de modo que $a_{n+1}\leq 2n$ para cualquier $n$ entero positivo. Muestra que cualquier entero positivo es diferencia de dos términos de la sucesión.
miércoles, 16 de marzo de 2011
Problema del día: Jueves 17 de marzo del 2011, Algebra
Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que para cualquier numero racional $r$, la ecuacion $P(x)=r$ tiene una solucion racional.
martes, 15 de marzo de 2011
Problema del Día: Martes 15 de marzo de 2011
Sea $ABC$ un triángulo, $L,M,N$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, y sean $X,Y,Z$ los puntos medios de las alturas desde $A,B,C$, respectivamente.
Pruebe que $LX,MY,NZ$ concurren en el punto simediano del triángulo $ABC$.
Pruebe que $LX,MY,NZ$ concurren en el punto simediano del triángulo $ABC$.
Participaciones en la Competencia de Invierno (primeros 7 exámenes)
En azul un numero de participaciones excelente, en verde seria aceptable y en rojo mediocre.
Déjenme saber si sus participaciones son correctas.
David
lunes, 14 de marzo de 2011
Competencia de Invierno: Examen #7 (1 hora)
Recuerden el codigo de honor !!!!!!!!!!!!!
1- Dada una función 
para la cual
se cumple para todo real 
cual es el numero mas grande de valor3s diferentes que pueden aparecer en la lista 
para la cualse cumple para todo real cual es el numero mas grande de valor3s diferentes que pueden aparecer en la lista 2- Sea 
la suma de todos los numeros de la forma 
donde 
y 
son primos relativos divisores positivos de 
Cual es el entero mas grande que no se pasa de 
?
la suma de todos los numeros de la forma donde y son primos relativos divisores positivos de Cual es el entero mas grande que no se pasa de ?3- En el triangulo 
es dado que los angulos 
y 
son congruentes. Los puntos 
y 
yacen en 
y 
respectivamente, de tal forma que 
El angulo 
es 
veces tan grande como el angulo 
donde es un numero real positivo. Encontrar el mayor entero que no se pasa de 
.
es dado que los angulos y son congruentes. Los puntos y yacen en y respectivamente, de tal forma que El angulo es veces tan grande como el angulo donde es un numero real positivo. Encontrar el mayor entero que no se pasa de .viernes, 11 de marzo de 2011
Hint Problema del Dia: Numeros Salvajes
Considera $X$ el conjunto de los impares positivos que no son múltiplos de $3$ y $Y$ el conjunto de todos los pares positivos que no son múltiplos de $3$.
Muestra que cualquier par positivo puede expresarse como suma de uno o mas elementos de $Y$.
Muestra que cualquier entero positivo mayor o igual a $16$ puede ser escrito como suma de elementos de $X$.
Muestra que si $3$ divide a $n$ entonces $n$ no puede ser salvaje. Concluye que $3$ divide a $n+1$.
Divide en casos según si $n$ es de la forma $6k+2$ ó $6k+5$.
Muestra que cualquier par positivo puede expresarse como suma de uno o mas elementos de $Y$.
Muestra que cualquier entero positivo mayor o igual a $16$ puede ser escrito como suma de elementos de $X$.
Muestra que si $3$ divide a $n$ entonces $n$ no puede ser salvaje. Concluye que $3$ divide a $n+1$.
Divide en casos según si $n$ es de la forma $6k+2$ ó $6k+5$.
miércoles, 9 de marzo de 2011
Problema del Dia: Números salvajes
Un número $n$ es salvaje si los enteros de $1$ a $n$ se puede partir en tres conjuntos $A$, $B$, $C$ (ajenos dos a dos cuya unión sea el total) de modo que:
a) La suma de los elementos en cada uno de $A$, $B$ y $C$ sea igual.
b) $A$ tiene sólo números impares.
c) $B$ tiene sólo números pares, y
d) $C$ tiene todos los múltiplos de $3$ (y quizás algunos otros números).
Muestra que $8$ es salvaje, que si $n$ es salvaje par entonces $\frac{n+4}{12}$ es entero y encuentra todos los números salvajes menores a $100$.
Extra: Encuentra todos los números salvajes. Hint el viernes.
a) La suma de los elementos en cada uno de $A$, $B$ y $C$ sea igual.
b) $A$ tiene sólo números impares.
c) $B$ tiene sólo números pares, y
d) $C$ tiene todos los múltiplos de $3$ (y quizás algunos otros números).
Muestra que $8$ es salvaje, que si $n$ es salvaje par entonces $\frac{n+4}{12}$ es entero y encuentra todos los números salvajes menores a $100$.
Extra: Encuentra todos los números salvajes. Hint el viernes.
lunes, 7 de marzo de 2011
APMO
Hola a Todos
Me gustaria que escribieran aqui como les fue en el examen del APMO,
saben que no pueden decir especificos sobre los problemas, solo me gustaria
saber que problemas hicieron.
Saludos
Rogelio
Me gustaria que escribieran aqui como les fue en el examen del APMO,
saben que no pueden decir especificos sobre los problemas, solo me gustaria
saber que problemas hicieron.
Saludos
Rogelio
viernes, 4 de marzo de 2011
Problema del Dia- 4 de marzo
Sea $f(n)$ el entero mas cercano a $\sqrt{n}$. Encuentra la suma
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{f(n)}+2^{-f(n)}}{2^n}.$$
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{f(n)}+2^{-f(n)}}{2^n}.$$
martes, 1 de marzo de 2011
Problema del Día Martes 1ro de Marzo de 2011
Sea $ABC$ un triangulo de perimetro minimo (puede haber mas de uno) circunscrito a una figura convexa sin segmentos en su frontera. Supongamos que los lados $AB$, $BC$ y $CA$ del triangulo hacen contacto con la frontera del convexo en los puntos $M$, $N$ y $P$, respectivamente. Demuestra que $AB+BN=NC+CA=BC+CP=PA+AB=CA+AM=MB+BC$.
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