Problema del día (Georges)

Un triángulo es dividido por sus 3 medianas en 6 triangulos mas pequeños. Demuestra que los circuncentros de estos 6 triangulos son conciclicos.

PROBLEMA DEL DIA: 16 DE JUNIO (MANUEL)

Ayer ya no pude ponerlo, pero aquí ya está:

Prueba que para toda terna a, b, c de reales positivos se cumple la desigualdad siguiente:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1$

Problema del Miercoles (Diego)

Sea $\tau(n)$ el numero de divisores positivos de $n$. Determina cuales enteros positivos $m$ se cumple que existe un entero positivo $n$ tal que $$\frac{\tau(n^2)}{\tau(n)}=m$$.

Preparen un tema para el entrenamiento

Hola, primero que nada, quiero felicitarlos por el excelente trabajo que han estado haciendo en el blog, es claro que están motivados y van con todo a la IMO, sigan así, ya falta poco.

Para este entrenamiento en Colima, quizás haya alguna sesión donde uds serán los expositores, así que preparen algún tema de su predilección, no importa si es teoría o algún problema interesante, solo que sea algo que crean les pueda servir a sus compañeros, preparen algo de un mínimo de 1 hora y un máximo de 2 horas, yo creo si tendremos tiempo para que todos expongan, así que preparen algo interesante, pensando como entrenadores.

Bueno, nos vemos en unos días en Colima !!

Panda

Problema del dia

Para que enteros positivos $k$, es verdad que hay infinitas parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que $\frac{(m+n-k)!}{m!n!}$ es un entero.

Problema del día

Encuentra todas las funciones no decrecientes $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tal que:
$ f(0) = 0, f(1) = 1; $
$ f(a)+f(b) = f(a)f(b)+f(a+b-ab) $ para todos los reales $a,b$ tales que $ a < 1 < b $

Problema del día sábado 11 de junio (Jorge)

Sea $a_0, a_1, a_2...$ una secuencia infinita de reales positivos. Demuestra que la desigualdad $1+a_n>a_{n-1}\sqrt[n]{2}$ es cierta para una infinidad de naturales $n$.

Problema del 10 de junio (Daniel)

Se marcan algunas casillas de un tablero de $(n^2+n+1)$x$(n^2+n+1)$. Si no hay cuatro casillas marcadas que formen un rectángulo de lados paralelos a los de la cuadrícula, demostrar que el número de casillas marcadas no excede $(n+1)$x$(n^2+n+1)$.

PROBLEMA DEL DIA: 09 DE JUNIO (MANUEL)

Ambos de la shortlist IMO 1991

1) Sea ABC un triángulo y P un punto en su interior. Muestra que alguno de los ángulos PAB, PBC y PCA es menor o igual a 30°.

2) Dado un triángulo ABC, sea I su incentro. Las bisectrices internas de los ángulos A, B, C intersectan a los lados opuestos en D, E y F, respectivamente. Muestra que $\frac{1}{4}<\frac{AI*BI*CI}{AD*BE*CF}\leq \frac{8}{27}$

Entrenamiento

Hola a todos

El entrenamiento para los IMO sera del 18 al 26 de junio en Colima.

Saludos

Rogelio

Problema del Miercoles (Diego)

Sea $c>2$, y sea $a(1), a(2), \cdot $ una secuencia de reales no negativos tal que
\[ a(m+n)\leq 2\cdot a(m)+2\cdot a(n)\forall m,n\geq 1, \]
y $\displaystyle a\left(2^{k}\right)\leq\frac{1}{(k+1)^{c}}\forall k\geq 0.$ Demuestra que existe un $M\in\mathbb{R}^+$, tal que $M\geq a(n)\forall n\geq 0$.

Problema del día (Georges)

Encuentra todas las fuciones $ f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+} $ que tienen la propiedad \[ f\left(x\right)f\left(y\right) = 2f\left(x+yf\left(x\right)\right) \] para todos los números reales $x$ y $y$

Varios problemas del día (Centros)

1) En la escuela de Octavio, la maestra de matemáticas puso el siguiente problema: Se tiene una primera lista de números $L_1=\{1,2,3,...,2006\}$. La lista nueva se hace poniendo las sumas y las restas de cada pareja de números en la lista anterior. Sea $A_n$ la suma de los números en la $n$-ésima lista $L_n$ y sea $B_n$ la cantidad de números en la $n$-ésima lista $L_n$. Muestra que 2$A_{2008}B_{2009}=3A_{2009}B_{2008}$.

Juan no sabe si los números repetidos en la lista se cuentan una o varias veces, entonces decide preguntar a la maestra. Ella responde que no importa, pues en ambos casos el problema es cierto. Demuestra que la maestra tiene razón.

2)En un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, se definen los puntos $O_A,O_B,O_C$ como los circuncentros de los triángulos $OBC$, $OCA$ y $OAB$, respectivamente. Determinar condiciones necesarias y suficientes en el triángulo $ABC$ para que $O_AO_BO_C$ sea un triángulo equilátero.

3) Se tiene un triángulo equilátero de lado $n$ dividido en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado 1 de la forma usual. Se quiere colocar tres fichas, cada una en casillas distintas, de manera tal que no haya dos casillas vecinas con ficha. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Dos casillas son vecinas si comparten un lado y dos acomodos se consideran distintos aunque uno pueda obtener el otro rotando o reflejando)

4) Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida de la siguiente forma:

\[a_1=1\\\ a_2=1,\\\ a_3=2,\\\ a_{n+3}=a_{n+2}+a_n.\]

Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros positivos $i,j,k,m$, no necesariamente distintos, tales que $a_{2n}=a_i^2+a_j^2+a_k^2-a_m^2$.

LATEX e IMO's

¿Cómo puedo instalar LATEX a un blog? Agradecería mucho que alguien me dijera.

¿Ya saben cuando y donde tendremos entrenamientos los IMO's?

Conocimiento común

a) Fer y Leo juegan un juego. Fer tiene un real positivo $a$ escrito en la frente y Leo tiene un real positivo $b$ escrito en la frente. Así que Fer conoce $b$ pero no conoce $a$ y viceversa con Leo. Panda escribe dos números en el pizarrón, de tal manera que uno de ellos sea $a+b$ y que Leo y Fer no sepan cuál de ellos es $a+b$. Además no se pueden comunicar entre ellos.

Cada hora Panda suena una campana y pregunta si alguno de los dos ya sabe cuánto vale $a+b$ si nadie responde afirmativamente continúa el juego (no pueden mentir).

Supón que Leo y Fer son inteligentes :) y que ambos saben que el otro es inteligente, además supón que el lapso entre cualesquiera dos campanadas les da suficiente tiempo para hacer todos los razonamientos necesarios.

Demuestra que después de un número finito de campanadas alguno de los dos conocerá su número.

b) Generalízalo para cuando hay $n$ personas cada una con un real positivo escrito en la frente, en el pizarrón hay $n$ números donde uno de ellos es la suma de los $n$ números de las personas. Haz las mismas suposiciones que para el caso $n=2$

Problemas del día sábado 4 de junio (Jorge)

Sea $P$ uno de los puntos de intersección de dos circunferencias con centro $O_1$ y $O_2$, una tangente común toca a los círculos en los puntos $A$ y $B$. La perpendicular desde $A$ a la recta $BP$ intersecta a $O_{1}O_{2}$ en $C$. Demuestra que $AP$ es perpendicular a $PC$.

Problema del 3 de Junio (Daniel)

Sean a,b,c números reales positivoscon abc=1. Prueba que:

$1+ 3/(a+b+c) \ge 6/(ab+bc+ca) $

PROBLEMA DEL DIA: 02 DE JUNIO (MANUEL)

1) ¿Es posible encontrar un entero N tq si a y b son enteros a la misma distancia de N/2 (es decir, N/2-a=b-N/2) y que exactamente uno de a o b puede ser escrito como 19m+85n para algunos enteros positivos n,m?

2) Hay 1985 personas en un cuarto. Cada una habla a lo más 5 lenguajes. Dadas cualesquiera 3 personas, almenos dos de ellas tienen un lenguaje en común. Prueba que hay algún lenjuaje hablado por almenos 200 personas.

3) Dado un triángulo ABC, sea P un pto dentro de él. Sean D, E, F las proyecciones de P en BC, AC y AB, respectivamente. Si $AP^{2}+PD^{2}=BP^{2}+PE^{2}=CP^{2}+PF^{2}$. Muestra que P es el circuncentro del triángulo formado por los excentros del triángulo ABC.

4) Dados reales positivos a,b,c; encuentra las soluciones (x,y,z) para las ecuaciones $ax+by=(x-y)^{2},\:by+cz=(y-z)^{2},\:cz+ax=(z-x)^{2}$

El tercero es un IMO no tan dificil, pero quiero ver si a alguien se le ocurre alguna slución con las isogonales de Jacobi que puso Jorge el otro día, porque presenta la construcción de ese teorema.
El cuarto no he podido hacerlo.

Problema del dia: 2 de Junio (Centros)

Encuentra un conjunto infinito de enteros positivos, tal que la suma de cualquier numero finito de elementos distintos del conjunto no es un cuadrado.

Entrenamiento

Ya tienen el lugar y los dias oficiales del entrenamiento de los imo's?