lunes, 6 de junio de 2011
Problema del día (Georges)
Encuentra todas las fuciones $ f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+} $ que tienen la propiedad \[ f\left(x\right)f\left(y\right) = 2f\left(x+yf\left(x\right)\right) \] para todos los números reales $x$ y $y$
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
4 comentarios:
Segun yo la unica solución es f(x)=2
Ves que si pasa que f(a)=f(a+b)con b positivo entonces f(x)=f(x+b) para todo real positvo x, y ademas ves que f(b)=2, sustituyendo x=b te da que f(y)=f(2y) para todo y, osea f(y+y)=f(y) por lo que ya sabiamos esto nos dice que f(y)=2 para todo y. Que si cumple.
De lo contrario f(a)=f(b) implica que a=b
sustituyendo x=c,y=1 y luego x=1,y=c nos da que
f(c+f(c))=f(1+cf(1)) q nos da c+f(c)=1+cf(1)
f(c)=1+c(f(1)-1)=1+ck on k=f(1)-1 para simplificar cuentas, pero al checar se cumple nos que da que f(x)f(y)=0 lo cual es imposible.
Mi solución es un poco más larga así que la resumiré.
-Primero substituyamos $x=1$ en la ecuación inicial, de ahí se obtiene que $f(y)=(\frac{2}{f(1})(f(1+ yf(1))$ para todo $y$. Luego substituyendo $y=1$ en la ecuación inicial vemos que $f(x)=(\frac{2}{f(1)})(f(x+f(x)))$ para toda $x$, de donde $f(1+xf(1))=f(x+f(x))$ para toda $x$, a esa ecuación la llamaremos identidad 1.
Ahora veamos que $f(x)\ge 1$ para todo $x$. Supongamos que $f(x)<1$ entonces substituyendo en la identidad inicial con $y=\frac{x}{1-f(x)}$ obtenemos que $f(x)=2$ lo cual es una contradicción.
Veamos que $f(x)$ no es inyectiva. Supongamos que $f(x)$ es inyectiva, entonces por la identidad 1 tenemos que $1+xf(1)=x+f(x)$ para toda $x$, por lo que si $c=f(1)$ entonces $f(x)=(c-1)x+1$ para todo x, evaluando en $x=\frac{1}{1-c}$ el cual es claramente positivo se llega fácilmente a una contradicción.
Como no es inyectiva sabemos que existe $b>a$ tal que $f(b)=f(a)$, sea $t=\frac{b-a}{f(a)}$ tenemos por la identidad inicial que $f(a)f(t)=2f(b)$ por lo que $f(t)=2$. Ahora sea $h<t$, vemos que $f(h)f(\frac{t-h}{f(h)})=4$ y como $f(\frac{t-h}{f(h)})\ge 1$ entonces $f(h)$ está acotado superiormente para toda $h<t$. Luego substituyendo $x=t$ en la inicial vemos que $f(y)=f(t+2y)$ para toda $y$, usando esa identidad se puede ver fácilmente que $f(x)$ está acotada por arriba para todo $x$ y después usando la identidad inicial se ve que $1\leq f(x)\leq 2$ para toda x, usando ese hecho en la identidad inicial se demuestra que $f(x)\ge f(x+yf(x))$ para todo $x,y$ por lo tanto $f(x)$ es decreciente.
Pero por la identidad $f(x)=f(t+2x)$ vemos que podemos encontrar dos reales tan distantes como queramos cuyas $f´s$ sean iguales, entonces como es decreciente la función será constante entre cualesquiera dos valores iguales, entonces $f(x)$ es constante, entonces $f(x)=2$ para toda $x$.
En la parte donde falló latex decía "cuyas f's sean iguales".
Publicar un comentario