Problemas del 2 de julio (Jorge)

Me he dado cuenta que varios problemas de Short List, especialmente de algebra, salen con ideas que tienen que ver con los infinitos. Por ejemplo, es muy común ver que cierta cosa se puede acercar o alejar tanto como se quiera de un valor dado, o que podemos repetir un proceso tantas veces como queramos, etc.

Aquí pongo una lista de problemas representativos de dichas ideas:

1.- Considera las funciones $f$ que van de los naturales en los naturales y satisfacen la condición:
$f(m+n)\ge f(m)+f(f(n))-1$
Para todo $m,n$.
Encontrar todos los posibles valores de $f(2007)$.

2.-Encuentra tods las funciones $f$ que van de los reales en los reales y que cumplen que:
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$
Para todo los reales $x,y$

3.- Sea $a_o, a_1, a_2 ...$ una secuancia infinita que cumple $a_{n}=[a_{n+1}-a_{n+2}]$ para todo $n$, y tal que $a_0$ es distinto de $a_1$, y en donde $[x]$ representa el valor absoluto de $x$
¿La secuamcia $a_0, a_1, a_2 ...$ puede estar acotada?

4.- Sea $r\ge 2$ un entero, sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de cardinalidad $r$, tal que cualesquiera dos conjuntos en $F$ se intersectan. Demuestra que existe un conjunto de cardinalidad $r-1$ que intersecta a cada conjunto en $F$.

5.-Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos en los enteros positivos, que cumplan que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ existe un triángulo no degenerado con lados:

$a, f(b)$ y $f(b+f(a)-1)$.