México rumbo a la IMO: Competencia de Invierno: Examen #3

lunes, 6 de febrero de 2012

Competencia de Invierno: Examen #3

Tiempo: 40 minutos !!! Recuerden el código de honor !!!!!!

1- Las figuras $0$ , $1$ , $2$ , y $3$ consisten de $1$ , $5$ , $13$ , y $25$ cuadrados unitarios, respectivamente. Si continuamos el patrón, cuantos cuadrados unitarios tendrá la figura 100?

unitsize(8);draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle);draw((9,0)--(10,0)--(10,3)--(9,3)--cycle);draw((8,1)--(11,1)--(11,2)--(8,...

2- Un tablero de $13$ renglones y $17$ columnas tiene un numero escrito en cada cuadrado, empezando en la esquina superior izquierda, de tal forma que el primer renglon es $1,2,\ldots,17$ , el segundo $18,19,\ldots,34$ , y asi para abajo. Si el tablero es renumerado tal que la columna de la izquierda es (de arriba a abajo) $1,2,\ldots,13$ , la segunda columna $14,15,\ldots,26$ y así sucesivamente. Algunos cuadrados tienen los mismos números en ambos casos. Encuentra la suma de estos números.

3- Si $x,y,$ $z$ son numeros positivos que satisfacen $x + \frac{1}{y} = 4, y + \frac{1}{z} = 1,$ and $z + \frac{1}{x} = \frac73,$ encuentra el valor de $xyz$ .

4- A través de un punto en la hipotenusa de un triangulo rectangulo, se trazan lineas paralelas a los catetos del triangulo de tal forma que el triangulo queda dividido en un cuadrado y 2 triangulos rectangulos mas chicos. El area de uno de los triangulos chicos es $m$ veces el area del cuadrado. Cual es la razon entre el area del otro triangulo chico y el area del cuadrado.

5- Si los arcos circulares $AC$ y $BC$ tienen centros en $B$ y $A$ , respectivamente, entonces existe un circulo tangente a ambos $\stackrel{\frown}{AC}$ y $\stackrel{\frown}{BC}$ , y a $\overline{AB}$ . Si la longitud de $\stackrel{\frown}{BC}$ es $12$ , entonces el perimetro del circulo es:

6- Ocho triángulos equilateros congruentes, cada uno de diferente color, son usados para construir un octaedro regular. Cuantas maneras distintas hay de construir el octaedro? (Dos octaedros coloreados se consideran distintos si ninguno de los 2 puede ser rotado para lucir como el otro.)

7- El producto de 3 enteros positivos consecutivos es 8 veces su suma. Cual es la suma de sus cuadrados?

8- Cuantos enteros diferentes pueden ser expresados como la suma de 3 números distintos del conjunto $\{1,4,7,10,13,16,19\}$ ?

9- Para cuantos enteros $n$ , es $\dfrac n{20-n}$ el cuadrado de un entero?

10- La suma de $18$ enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. Cual es el valor mas pequeño posible de esta suma?

11- Cuatro circulos distintos se dibujan en un plano. Cual es el máximo numero de puntos donde al menos 2 de los círculos se intersectan?

12- Si $a,b,$ $c$ son números reales positivos tales que $a(b+c) = 152, b(c+a) = 162,$ and $c(a+b) = 170$ , entonces el valor de $abc$ es:

13- Para todos los enteros positivos $n$ menores que $2002$ , sea

$\begin{eqnarray*}a_n =\left\{\begin{array}{lr}11, & \text{if\ }n\ \text{is\ divisible\ by\ }13\ \text{and\ }14;\\13, &amp...$

Calcular $\sum_{n=1}^{2001} a_n$ .

14- Un cuadrilátero convexo $ABCD$ con área $2002$ contiene un punto $P$ en su interior tal que $PA = 24, PB = 32, PC = 28, PD = 45$ . Encontrar el perímetro de $ABCD$ .