jueves, 24 de mayo de 2012

Problema del día Jueves 24 de Mayo (Adán)

Determina todas las $n \in \mathbb{Z}^{+}$ tales que $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ es entero.
Posted by Adán at 6:51 a.m.

9 comentarios:

Juan dijo...

$p:=min\{a\in \mathbb{P} | a | n\}$$\Rightarrow$$ p | 2^n+1 | 2^{2n}-1 $$\Rightarrow ord_p 2 | (2n,p-1) = 2 $$\Rightarrow p = 3. 2v_3(n) \le v_3(2^n+1) = v_3(n)+1 $$\Rightarrow v_3(n)=1. a:=\frac{n}{3}, (a,3)=1. $$a^2 | 2^{3a}+1. q:=min\{b\in \mathbb{P} | b | a\} $$\Rightarrow ord_q(2)|(6a,q-1)|6 $$\Rightarrow q=3,7 $$\Rightarrow q = 7 $$\Rightarrow 7 \mid 8^a+1 ! $$\Rightarrow n=1,3 $$\Clubsuit$.

24 de mayo de 2012, 4:32 p.m.
Chuck dijo...

Primero vemos que $n$ es impar y que $n=1$ cumple, luego tomamos el primo más pequeño que divide a $n$ y vemos que $p-1$ es coprimo con $n$, pues de lo contrario hay un primo menor a $p$ que divide a $n$. Dado que $2^{2n}\equiv (-1)^{2}\equiv 1\pmod{p}$ de modo que el órden de $2$ módulo este primo divide a $2n$ y a $p-1$ por Fermat, de modo que debe ser $2$ (pues $1$ no tiene sentido), de modo que $p=3$. Vemos que $n=3$ cumple, así que ahora veamos si hay una solución mayor.

Usando Lifting the Exponent Lemma, vemos que $3||n$. Ahora tomamos el menor primo distinto de $3$ que divide a $n$ y lo llamamos $q$. Similarmente, $q-1$ tiene factores $3$ y $2$ únicamente, pues si no es así, contradecimos la minimalidad de $q$, y entonces el órden de $2$ módulo $q$ divide a $2n$ y a $q-1$, de modo que es ya sea $3$ o $6$ (pues $2n$ sólo tiene un factor dos y un factor $3$ y si el órden fuera $2$, entonces $q=3$ y eso no es cierto). Si el órden es $6$ entonces $q|63$ y $q=7$ y en caso contrario, $q|7$ y entonces $q=7$ así que de cualquier modo $q=7$. Pero entonces queremos que $8^{n/3}\equiv -1\pmod{7}$ dónde $n/3$ es entero, pero esto es imposible porque en realidad $8^{k}\equiv 1\pmod{7}$ para cualquier $k$ natural, así que no es cierto y entonces las únicas soluciones son $n=1,3$.

24 de mayo de 2012, 6:00 p.m.
jorge garza vargas dijo...

Mi solución es igual a la de juan. Me suena a que este problema lo hicismos en el primer entrenamiento en el imta, en el de números que dio daniel.

24 de mayo de 2012, 9:49 p.m.
jorge garza vargas dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
24 de mayo de 2012, 9:49 p.m.
Adán dijo...

Sabe :S según yo no. Es el problema 3 de la IMO de 1990.

24 de mayo de 2012, 10:44 p.m.
Juan dijo...

¿No era el 1?

25 de mayo de 2012, 6:34 a.m.
jorge garza vargas dijo...

Sí era el 3 de esa IMO. Sí ahora recuerdo, el peoblema que hicimpos en el IMTA era distinto, la idea que se usaba era la misma pero era más sencillo, creo que pedía encontrar los $n$ tal que $n|2^n-1$.

25 de mayo de 2012, 9:26 a.m.
jorge garza vargas dijo...

Sí era el 3 de esa IMO. Sí ahora recuerdo, el peoblema que hicimpos en el IMTA era distinto, la idea que se usaba era la misma pero era más sencillo, creo que pedía encontrar los $n$ tal que $n|2^n-1$.

25 de mayo de 2012, 9:26 a.m.
JulioC dijo...

mi solució es igual a las anteriores y también pensé que ya lo habíamos hecho como dijo Jorge

25 de mayo de 2012, 10:07 p.m.

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