miércoles, 16 de mayo de 2012
Problema del Día, Miércoles 16 de Mayo (Chuck)
Sean $r_{1},r_{2},\dots,r_{n}$ reales positivos mayores o iguales a $1$. Prueba que: \[\frac{1}{r_{1}+1}+\frac{1}{r_{2}+1}+\dots+\frac{1}{r_{n}+1}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1}r_{2}\dots r_{n}}+1}.\]
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11 comentarios:
Lamento la A con acento... no sé por qué apareció...
Sea $a$ un real positivo. Consideremos la función
$f\left(x\right)=\frac{1}{a^{x}+1}$
Como $r_{1}, r_{2}, \ldots ,r_{n}$ son reales positivos mayores a $1$, tenemos que
$r_{i}=a^{\gamma_{i}}$
para cada $i$, donde $\gamma_{i}\geq 0$. Claramente $f\left(x\right)$ es convexa cuando $x\geq 0$, por lo que tenemos que, por Jensen
$\sum_{i=1}^{n}{f\left(\gamma_{i}\right)}\geq n\cdot f\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}{\gamma_{i}}}{n}\right)$
de donde directamente obtenemos
$\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{r_{i}+1}}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}{r_{i}}+1}$
que es lo que queríamos demostrar.
El cuadro rojo que sale es la desigualdad que sale arriba en el problema.
Sustituyo $x_i=log r_i$ entonces se reduce a ver que la suma de $\frac{1}{e^{x_i}+1}$ es mayor o igual que $\frac{n}{e^{\frac{x_1+...+x_n}{n}}+1}$ y ésto es cierto por Jensen.
Chuck, ¿de dónde sacaste el problema?
Es de la Shortlist de 1999... aunque esa solución es la que saqué yo, la solución "official" consistía en una inducción, probándola para potencias de dos y luego para los números menores a una potencia, metiendo términos comodines de ambos lados para completar la potencia. Me pareció una estrategia interesante.
Sale con Jensen y la función $\frac{1}{e^{x}+1}$ directo
Yo lo hice igual q adan, de hecho viene en el libro rosa de desigualdades en la sección de funciones convexas.
@Adán: como viste que claramente $f$ es convexa, yo tuve que derivar dos veces y queda $f''(x)=\frac{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$ lo cual es claramente positivo para $x\geq 0$ que es la traducción de la condición de la hipótesis. Pero queria ver si habia una forma más elemental de ver la convexidad.
No se porque no se ve, la segunda derivada queda: $\frac{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$
No se porque no se ve, la segunda derivada queda: $\frac{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$
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