jueves, 24 de mayo de 2012
Problema del día viernes 25 de mayo. (Juan)
Sea ABC un tríangulo cuyo menor lado es BC. U está en el arco menor BC del circuncírculo de ABC. Las mediatrices de AB y AC intersectan a AU en X y Y, respectivamente. BX y CY se intersectan en T. Muestra que AU mide lo mismo que la suma de las longitudes de los segmentos BT y CT.
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6 comentarios:
Sea $\angle BAU=\beta$ y $\angle CAU=\gamma$. Entonces, tenemos
$\angle BXU=2\beta$
$\angle CYU=2\gamma$
y por lo tanto
$\angle BTC=\angle BXU+\angle CYU=2\left(\beta+\gamma\right)$
pero, si prolongamos $BX$ hasta que corte al circuncírculo de $ABC$ en $U_{1}$ tendremos que $\angle BU_{1}C=\beta+\gamma$, pero tendremos que
$\angle CTU_{1}=\angle BTC-\angle BU_{1}C=\beta+\gamma$
por lo que $U_{1}T=CT$. Ahora, veamos que, como $X$ está sobre la mediatriz de $AB$, entonces $AU=BU_{1}$, pero tenemos que
$AU=BU_{1}=BT+TU_{1}=BT+CT$
y acabamos.
Bonito problema. Creo que la IMO del 97 ya se puso de moda en este blog.
Debo de aceptar que la solución de adán es mucho más sencilla que la mia, yo tuve que recurrir a pascal y homotecia.
Es el 2
Órales, como salió con Pascal?
con la solución de Adán me da pena poner la mía, pero de todos modos diré que se basa en ver el punto medio $M$ de $YX$, ver que el problema es equivalente a que $TY-TX=MX-MY$. De ahí sacas todos los ángulos de los triángulos $TXY$ y $YXD$ con base a los ángulos $COU$ y $UOB$, de ahí conclií con trigonometría y ley de senos
Ya me salió... por qué no me sorprende que salga con trigonometría Juan? Primero ves algo interesante con el triángulo $TXY$ y el punto medio de $XY$, de ahí usas al centro de la circunferencia para ver angulitos y combinarlo con trigonometría...
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