Problema del día viernes 15 de junio del 2012 (Juan)

(a) Tengo unos discos cerrados en el plano. Todo punto del plano está contenido en a lo más 2003 discos. Demuestra que uno de esos discos tiene una intersección no vacía con a lo más 14020 discos.
(b) Tenemos un triángulo acutángulo ABC con F un punto en su interior tal que los ángulos AFB, BFC y CFA miden lo mismo. Tenemos que CF intersecta a AB en D y BF a AC en E. Demuestra que AB+AC $\ge$ 4DE.

Problema del dia 12 de junio (Julio)

Prueba que existe una función biyectiva tal que para todo :

Problema del dia 11 de junio (Jorge)

En los problemas de IMO es común que se utilicen ideas de cálculo (aunque no se usen las herramientas). A mí me ha servido para la olimpiada estudiar cálculo de licenciatura, sobre todo la parte de sucesiones, así que se los recomiendo a los que todavía no lo hacen.

1.- Considera dos sucesiones no crecientes $(a_k)$ y $(b_k)$, con $k\geq 1$ y $a_k$ y $b_k$ reales positivos para todo $k$. Ahora definimos las secuencias:
$c_k=\min (a_k,b_k)$
$A_k= a_1+a_2+...+a_k$
$B_k= b_1+b_2+...+b_k$
$C_k= c_1+c_2+...+c_k$
Para todo $k$.
a)¿Es posible que $A_k$ y $B_k$ no estén acotadas mientras que $C_k$ sí lo esté?
b) ¿La respuesta en a) cambia si definimos a $b_k$ como $b_k=\frac{1}{k}$ para todo $k$?

2.-La secuencia $c_0, c_1, c_2...$ se define como sigue, $c_0=1$, $c_1=1$ y $c_{n+2}=c_n+c_{n+1}$ para $n\geq 2$. Considera el conjunto $S$ de parejas oredenadas $(x,y)$ tal que existe un conjunto finito $J$ de enteros positivos tal que $x=\sum_{j\in J}{c_j}$,  $y=\sum_{j\in J}{c_{j-1}}$. Demuestra que existen reales $m,\alpha ,\beta , M$ con la siguiente propiedad: $(x,y)\in S$ si y solo si se cumple la desigualdad $m \leq \alpha x+\beta y \leq M$.

Entrenamiento Previo a la IMO

Hola a Todos

El entrenamiento previo a la IMO sera del 18 de junio del 2012 (el entrenamiento
empieza la tarde de ese dia) al 1 de julio del 2012 (ese dia ya no hay entrenamiento).

Por favor me confirman a mi y a Malu su fecha de llegada a Morelia.

El hotel se  llama Caza del Lago. Está muy cerca de la UNAM, donde serán los
entrenamientos. En otras ocasiones ya se han quedado ahí. Su página es:
http://www.lacazadellago.com/

Se les aconseja que llegar por autobús por dos razones: el vuelo DF-Morelia es exageradamente caro y
el aeropuerto está muy lejos de la ciudad (45 minutos y el taxi cobra
como 300 pesos).

Les mando también los teléfonos de Malú en Morelia:
casa: (443) 3 15 73 75
celular: 443 318 38 79

Problema del día Viernes 8 de junio del 2012 (Juan)

Computar $v_2\left( 3^{\frac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}}} - (-5)^{\frac{3^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \right)$. Por favor ignoren la $A$.

Problema del día (Adán)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $\omega$ y $\Omega$ su circunferencia inscrita y circunscrita respectivamente, tales que $I$ es centro de $\omega$. Sea $X$ el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$ y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. La recta $MX$ corta a $\omega$ de nuevo en $Y$, y la perpendicular a $MX$ por $I$ corta a $BC$ en $N$. Las rectas $NW$ y $NZ$ son tangentes a $\Omega$ en $W$ y $Z$ respectivamente. Muestra que los puntos $W, X, Y, Z$ están sobre una circunferencia.

Desigualdad del día (Jorge 'Chuck')

Sea $n\geq 2$ y sean $a_1, a_2,\dots, a_n$ reales. Demuestra que para cada subconjunto no vacío $S$ de los enteros del uno al $n$ se da que: \[\left(\sum_{i\in S}a_i\right)^2\leq \sum_{1\leq i\leq j\leq n}(a_i+\dots+a_j)^2\]

Problema del día 05 de junio (Julio)

Dos desigualdades bonitas:
1._ Encontrar el valor mínimo de $ F(x,y)=\sqrt{(x+1)^{2}+(y-1)^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}+(y+2)^{2}} $ , donde. 
2._ Sea $n \ge {2}$  y  $0 \le x_{i} \le 1$ para toda $i = 1,2,...n$. Encuentra el valor máximo de
$(x_1 + x_2 + ... + x_n) - (x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_nx_1)$  y determina cuándo se alcanza.

Problemas del dia lunes 4 de junio (Jorge)

En los problemas de IMO es común que sea útil reducir cierto proceso a un caso más pequeño haciendo una especie de recurción. Me parece que es muy importante tener presente esa idea y saberla manejar bien, para ahorrar tiempo en un problema del estilo. Así que aquí pongo tres de ellos.

1. Sea $n\geq 1$ un entero. Un camino es un camino de $(0,0)$ a $(n,n)$ en el plano $xy$ es una sucesión de movimientos unitarios consecutivos, ya sea hacia la derecha (movimiento denotado por $D$) o hacia arriba (movimiento denotado por $A$), todos los movimientos hechos dentro del medioplano $x\geq y$. Un escalón en el camino es el suceso de dos movimientos consecutivos $DA$. Demuestra que el número de caminos de $(0,0)$ a $(n,n)$ que contienen exactamente $s$ escalones es:

$\frac{1}{s}\binom{n-1}{s-1}\binom{n}{s-1}$ 

(IMO SL 1999)

2. Sea $n$ un natural y $A_n$ el conjunto de las permutaciones $(a_1,..., a_n)$ del conjunto $\{ 1, 2,..., n\}$ tal que $k|2(a_1+...+a_k)$ para todo $1\leq k\leq n$.

Encuentra el número de elementos en $A_n$.
(IMO SL 2008)

3. Sea $n\geq 2$ se nos da una balanza con $n$ pesas con pesos $2^0, 2^1,...,2^{n-1}$. se deben de poner las $n$ pesas sobre la balanza, una detrás de otra de modo que el plato derecho sea siempre más pesado que el plato izquierdo. En cada paso se escoge una de las pesas que no se hayan utilizado y se pone ya sea en el platillo derecho o en el izquierdo, hasta que todas las pesas se hayan puesto.

Determina el número de formas en que esto se puede hacer.
(IMO 2011)

Problema del día (Diego)

Sea $\tau(n)$ el numero de divisores positivos de un numero natural $n$. Encontrar todas las funciones de los naturales a los naturales $f$ tal que
$d(f(x))=x$
$f(xy)$ divida a $(x-1)y^{xy-1}f(x)$
Para todo $x,y$ enteros naturales.