Desigualdad del día (Jorge 'Chuck')

Sea $n\geq 2$ y sean $a_1, a_2,\dots, a_n$ reales. Demuestra que para cada subconjunto no vacío $S$ de los enteros del uno al $n$ se da que: \[\left(\sum_{i\in S}a_i\right)^2\leq \sum_{1\leq i\leq j\leq n}(a_i+\dots+a_j)^2\]