Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$. Demuestra que
$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3.$
lunes, 27 de agosto de 2012
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8 comentarios:
La clave de mi solución es ver que importa el orden en el que están las variables, lo cuál lo puedes ver después de algunos intentos. S.P.G puedes suponer que $c$ es máximo. Lo cuál nos deja dos casos: i) $a \le b \le c$
ii) $b \le a \le c$.
Caso i) ocupemos las desigualdades $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \frac{1}{2}+frac{a}{a+b}$ y $\sqrt{\frac{2b}{b+c}}\leq \frac{1}{2}+frac{b}{b+c}$ (mg-ma) para reducir el problema a demostrar $frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 2$, o su equivalente $\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq frac{b}{a+b}+frac{c}{b+c}.$
Ahora notemos que
$2(\sqrt{frac{bc}{(a+b)(b+c)}}\leq frac{b}{a+b}+frac{c}{b+c}$ (mg-ma)
y $\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 2(\sqrt{frac{bc}{(a+b)(b+c)}}$ es quivalente a $0\leq (c-b)(b-a)$ que es cierta. Y concluímos.
Caso ii) es análogo al anterior pero ocupando las desigualdades $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \frac{1}{2}+frac{a}{a+b}$ y $\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq \frac{1}{2}+frac{c}{c+a}$
la suma cíclica de a/a+b es menor que 3/2
Juan eso no resuelve el problema de hecho lo que dices sólo se cumple para cuando $a \le b \le c$ con el otro caso no funciona.
Pero el otro caso esta bien facil solo hay que ver que $\sqrt{\frac{2a}{a+b}} \le \frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}$.
Según yo el caso dificil es en el que estan ordenados a, luego b y luego c
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