lunes, 27 de agosto de 2012

A-4

Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$. Demuestra que 

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3.$

8 comentarios:

JulioC dijo...
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JulioC dijo...
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JulioC dijo...

La clave de mi solución es ver que importa el orden en el que están las variables, lo cuál lo puedes ver después de algunos intentos. S.P.G puedes suponer que $c$ es máximo. Lo cuál nos deja dos casos: i) $a \le b \le c$
ii) $b \le a \le c$.

Caso i) ocupemos las desigualdades $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \frac{1}{2}+frac{a}{a+b}$ y $\sqrt{\frac{2b}{b+c}}\leq \frac{1}{2}+frac{b}{b+c}$ (mg-ma) para reducir el problema a demostrar $frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 2$, o su equivalente $\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq frac{b}{a+b}+frac{c}{b+c}.$
Ahora notemos que
$2(\sqrt{frac{bc}{(a+b)(b+c)}}\leq frac{b}{a+b}+frac{c}{b+c}$ (mg-ma)
y $\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 2(\sqrt{frac{bc}{(a+b)(b+c)}}$ es quivalente a $0\leq (c-b)(b-a)$ que es cierta. Y concluímos.

Caso ii) es análogo al anterior pero ocupando las desigualdades $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \frac{1}{2}+frac{a}{a+b}$ y $\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq \frac{1}{2}+frac{c}{c+a}$

Juan dijo...

la suma cíclica de a/a+b es menor que 3/2

JulioC dijo...

Juan eso no resuelve el problema de hecho lo que dices sólo se cumple para cuando $a \le b \le c$ con el otro caso no funciona.

Juan dijo...
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Juan dijo...

Pero el otro caso esta bien facil solo hay que ver que $\sqrt{\frac{2a}{a+b}} \le \frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}$.

Juan dijo...

Según yo el caso dificil es en el que estan ordenados a, luego b y luego c

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