Números y Álgebra. $3^2$ julio 2013. JUAN

Fácil: Sea $a$ un natural dado. En un pizarrón está escrito inicialmente un número $m$. Pepito aplica la siguiente operación:

Supongamos que en el pizarrón está escrito actualmente el número $n$. Tira una moneda. Si sale sol, borra $n$ y escribe $2n$. Si sale sello, borra $n$ y escribe $2n-1$.

¿Para qué parejas $\boxed{(a,m)}$ de naturales es posible que, con mucha suerte, Pepito algún día escriba una $a$-ésima potencia?

Medio: $n,k \textgreater 1$ son naturales. $a_1,...,a_n,c_1,...,c_n$ son reales no negativos tales que:

(i) $a_1 \ge ... \ge a_n$
(ii) $a_1+...+a_n=1$
(iii) $\forall m \in \{1,...,n\}$ se da que $c_1+...+c_m\le m^k$

Encuentra el máximo valor posible de $\boxed{c_1a_1^k+...+c_na_n^k}$