México rumbo a la IMO: Problema del día (10-07-2013)

miércoles, 10 de julio de 2013

Problema del día (10-07-2013)

Un snack antes de irnos:

Prueba que todas las raíces del polinomio $x(x-2)(x-4)(x-6)+(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ son reales.

3 comentarios:

Juan dijo...: formula general; 10 de julio de 2013, 5:11 p.m.
Juan dijo...: nah no se crean. calculenlo en 0, 1, 3, 5 y 7 y vean que en 0 da positivo, en 1 negativo, 3 positivo, 5 negativo y 7 positivo, entonces por el teorema del valor intermedio hay raíces en (0,1), (1,3), (3,5) y (5,7) y como su grado es 4 entonces esas raices son todas entonces acabas.; 10 de julio de 2013, 5:13 p.m.
Unknown dijo...: Evaluamos el polinomio en

\[x\in \left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}\]

y vemos que los signos de dichos valores son, en orden

\[+, -, -, +, +, -, -, +\]

por lo que, por el teorema del valor intermedio, dada la continuidad del polinomio, entre cada par de signos distintos hay una raíz, y por tanto, tenemos $4$ raíces distintas reales, y el polinomio de de cuarto grado, así que hemos encontrado todas sus raíces, y por tanto, todas las raíces de

\[x\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)+\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-7\right)\]

son reales.; 11 de julio de 2013, 12:18 a.m.

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