22 de enero. Juan. Reto de recíprocos

Encuentra todas las funciones $f$ inyectivas de los naturales a ellos mismos que satisfacen que si $\sum_{x \in S} \frac{1}{x}$ es entero para un conjunto finito de naturales $S$, entonces $\sum_{x \in S}\frac{1}{f(x)}$ también es entero.

Problema 21-01-14

Perdon por la tardanza pero se me dificultó subirlo antes.

Encuentra todas las funciones $f$ de naturales a naturales. Tal que para toda $n$, $m$ y $p$ con $p$ primo se cumple que $p$ divide a $f(n+m)$ si y solo si $p$ divide a $f(m)+f(n)$.

20 Enero

Considerse los polinomios
$$ f_n(q) =\sum\limits_{i = 0}^n{c(n,i){q^i}} $$

Con $n\in \mathbb{N}$ tal que $c(n,i)\equiv \binom{n}{i}\pmod{2}$ y $c(n,i)\in \{0,1\}$. Sean $r,s,q$ enteros positivos tal que $q+1$ no es potencia de $2$. Demuestra que si $f_r(q)|f_s(q)$ entonces $f_r(m)|f_s(m)$ para toda m positiva.

Problema del sábado 11 de enero. CONOCIDOS.

Bueno, ya es domingo, pero igual postearé un problema del sábado, perdonen el retraso. También, sé que este problema ya lo conoce Diego pero me pareció muy bonito. Además tiene varias soluciones muy distintas. Así que lo comparto.

Tenemos una gráfica finita de $2000$ vértices donde no puede haber más de una arista entre dos vértices y no hay aristas que vayan de un vértice a él mismo. Diré que dos vértices son amigos si son adyacentes. Diré que dos vértices son "conocidos" si tienen un amigo en común. La gráfica tiene un millón de aristas. Demuestra que hay al menos $999000$ parejas de conocidos.

Problema del Día 11-01-14 (Xavi)

Sea $p$ un primo impar y sea $P(x)=x^{p}-x+p$. Muestra que $P(x)$ es irreducible en el conjunto de los polinomios de coeficientes enteros.

Problema del Día 10-01-14 (Xavi)

Perdonen el retraso
Hallar todas las funciones $f$ que vayan de los naturales a los naturales tales que:

$f^{f(n)}(n)=n+1$

Donde $f^{k}(n)$ es el resultado de aplicar la función $f$ a $n$ $k$ veces

Problema del Jueves. Escalera

Se colorean todos los lados y diagonales de un 1001-ágono de naranja o verde. Muestra que puedo tomar 334 segmentos disjuntos por parejas, todos del mismo color.

Nota: dos segmentos son disjuntos si sus vértices son distintos y no se intersectan.

Problema del Día 08-01-14 (Xavi)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $DA+AC=DB+BC$ y sea $P$ la interseccion de las bisectrices externas de los ángulos $\angle{DAC}$ y $\angle{DBC}$. Muestra que $\angle{APD}=\angle{BPC}$.

Problema del Miércoles. Reto numérico

¡El blog no ha muerto!

Problema:
Quieres hacer una biyección $f : \mathbb{Z}^2 \mapsto \mathbb{N}$, es decir, de los puntos látice a los naturales.

Tu biyección debe satisfacer que si $A,B,C$ son colineales, entonces $mcd(f(A), f(B), f(C)) = 1$.

Por ejemplo, $f((-1,-1))=10$, $f((1,1))=4$ y $f((2,2)) = 6$ no se vale.

¿Existe tal biyección?