Problemas 24 junio

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $O$ y $H$ su circuncentro y ortocentro. Sea $P_A$ y $Q_A$ puntos sobre $OA$ y $BC$ (respectivamente) tales que $OP_AHQ_A$ es un paralelogramo. Defino $P_B, P_C, Q_B, Q_C$ análogamente. Demostrar que

$\displaystyle\frac{OQ_A}{OP_A}+\displaystyle\frac{OQ_B}{OP_B}+\displaystyle\frac{OQ_C}{OP_C} \ge 3$

Dedicado a Luis

2. En $ABC$ sea $P$ un punto interior y sea $A_1,B_1,C_1$ los puntos de intersección de $AP$, $BP$, $CP$ con el circuncírculo de $ABC$, respectivamente. Sea $A_2$ tal que $BA_2CA_1$ es paralelogramo y defino $B_2$ y $C_2$ análogamente. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. Mostrar que $A_2B_2C_2H$ es un cuadrilátero cíclico.

Dedicado a Xavi

Encuentra todas las funciones de reales positivos a reales positivos tales que:
$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)$
Dedicado a Diego

Mock Kevin

Examen mock Oscar

Examen MOCK Juan

Examen Mock Luis Chacón

Diego Roque Examen

Mi examen: http://imgur.com/a/wQqzO

Así hay menos amontonamiento y solo ven las imagenes si das clicl. 

Examen IMO Mock 1 Soluciones Xavi

Examen IMO mock 1

Problema 1. Encuentra todos los enteros poitivos $x$, $y$ tales que
$p^x$ − $y^p = 1$ donde $p$ es primo.



Problema 2. Para cualesquiera números reales no negativos $a$, $b$, $c$, $d$ muestra
$$(ab)^{\frac{1}{3}} + (cd)^{\frac{1}{3}} \leq ((a+c+b)(a+c+d))^{\frac{1}{3}}.$$



Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado $L$. Sea $\mathcal{C}$ y $\mathcal{M}$ el circuncírculo y el incírculo, respectivamente de $ABC$. Sea $P$ un punto en   $\mathcal{M}$ y sean $P_1$, $P_2$, $P_3$ las proyecciones de $P$ sobre $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Los círculos $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$ y $\mathcal{T}_3$ son tangentes a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $P_1$, $P_2$ y $P_3$, respectivamente, y a $\mathcal{C}$ internamente, mientras que sus centros estan en diferentes lados de $BC$, $CA$, $AB$ con respecto a $A$, $B$, $C$. Muestra que la suma de las longitudes de las tangentes externas comunes de $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$ y $\mathcal{T}_3$ es constante.

Un (n,k)-torneo es un concurso con n participantes hecho en k rondas tal que:
i) Cada participante juega en cada ronda y cada 2 participantes jugaron a lo más una vez;
ii) Si el jugador A se enfrenta a B en la ronda i, C se enfrenta a D en la ronda i, y A se enfrenta a C en la ronda j, entonces B se enfrenta a D en la ronda j.
Determinar todos los pares (n,k) tales que existe un (n,k)-torneo.


Sea ABCD un cuadrilátero cíclico. Sean E y F puntos variables en los lados AB y CD, respectivamente, tales que AE/EB=CF/FD. Sea P el punto en el segmento EF tal que PE/PF=AB/CD. Probar que la razón de las áreas de los triángulos APD y BPC no depende de la elección de E y F.

Encuentra todas las secuencias finitas $(x_0, x_1,..., x_n)$ tales que para toda $j$, $0\leq j\leq n$, $x_j$ es igual a la cantidad de veces que el numero $j$ aparece en la secuencia.

Dedicado a Oscar.


Sean $a>b>c>d$ enteros positivos tales que $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$. Prueba que $ab+cd$ no es un numero primo.

Dedicado a Juan.

Cinco problemas

Como no pude poner problemas la semana pasada, pondré los de la semana pasada hoy. Y ya de pasada cinco para que sea uno para cada uno.


Sean $f$ y $g$ dos polinomios con coeficientes enteros, tal que $f$ tenga mayor grado que $g$. Supongan que hay infinitos primos $p$ tal que $pf+g$ tiene una raiz racional. Demuestren que $f$ tiene una raiz racional.

Dedicado a: Oscar



Sea $f$ una funcion de naturales a naturales, $f^m$ es $f$ aplicada $m$ veces. Supon que para cada natural $n$ existe un minimo natural $k_n$ tal que $f^{2k_n}(n)=n+k_n$. Demuesta que $k_1,k_2,...$ no esta acotada.

Dedicado a: Kevin

Sea $P$ un punto adentro o en la frontera del triangulo $ABC$.  Sea $d_a,d_b,d_c$ las distancias de P a $BC,CA,AB$ respectivamente. Demuestren que $max(AP,BP,CP)$ es mayor o igual a $ \sqrt{d_a^2+d_b^2+d_c^2}$.. Encuentra cuando se da la igualdad

Dedicado a: Chacon

Sea un tablero de $3n$ x $3n$ tal que cada columna y fila este numerada del $1$ al $3n$, y $(a,b)$ la casilla en la fila $a$ y columna $b$.  Se pinta cada casilla de color A,B o C respectivamente si $a+b$ es congruente a $0,1,2$ modulo $3$. Aparte, se ponen $3n^2$ monedas de cada color A,B,C tal que quede una en cada casilla (no necesariamente casilla del mismo color).
Supon que puedes permutar las monedas tal que una moneda de color A quede donde estaba una de color B, una de color B donde estaba una de color C y una de color C donde estaba una de color A. Supon que en esta permutación la mayor distancia que se movió una moneda es $d$.
Demuestra que desde la configuración antes de esa permutación, se puede mover cada casilla una distancia de a lo más $d+2$ tal que cada moneda quede en una casilla de su color.

Dedicado a: Xavi


Sea $f$ una función de reales a reales tal que $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ para todo $x,y$ reales. Encuentra todas las $f$ posibles.

Dedicado a: Juan.

Examen IMO mock

Hola a todos

Estamos planeado aplicarles un examen IMO-mock el sábado próximo.
Les explico la mecánica brevemente:

El sábado 21 de Junio escribiré un examen tipo IMO en este blog, el examen será de las 9:00 am a las 13:30 pm. Al finalizar ustedes mandaran sus soluciones, ya sea escritas o por foto, al blog para que sean revisadas.

Saludos

Rogelio

17 junio

1. Un número bonito es un número de la forma $3^a$, $4^a$, $5^a$ ó $6^a$ para alguna $a \ge 1$. Muestra que todo número natural mayor a $2$ puede ser escrito como suma de números bonitos distintos.

(Por ejemplo, $11=5+4$, $39=6^2+3$, $32=5^2+4+3$).

Dedicado a: Samuel

2. Sea $ABC$ un triángulo y $X$ un punto variable sobre el rayo $BC$ más allá de $C$. Sea $l$ el eje radical de los incírculos de los triángulos $ABX$ y $ACX$. Muestra que, al variar $X$, la línea $l$ pasará por un punto fijo.

Dedicado a: Diego

Lo pongo temprano porque ya me voy a ir a dormir. 

Problema del dia 16-jun

Sea $ABCD$ Un paralalelogramo. A variable line g through the vertex Una linea $g$ por $A$ intersecta a los rayos $BC$ y $DC$ en $X$ y $Y$ respec. Sean $K$ y $L$ los excentros con respecto a $A$ de $ABX$ y $ADY$. Muestra que el angulo $KCL$ es independiente de la eleccion de $g$. 


Dedicado a Chacon

Encuentra todas las funciones de reales positivos a reales positivos tales que se cumple $f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)$

Dedicado a Xavi

Problema del día 14/06/2014

Sea P un polígono convexo. Demuestra que existe un hexágono contenido dentro de P cuyo área es al menos 3/4 el área de P.
Dedicado a: Juan.

Sea ABC un triángulo y P un punto exterior a el en el plano. Supon que AP, BP y CP interctan a los lados BC, CA, AB (o sus extensiones) en D, E y F respectivamente. Ademas, supón que las áreas de los triángulos PBD, PCE y PAF son iguales. Demuestra que esas áreas son igual al área de ABC.
Dedicado a: Diego.

Problema del día. 13/06/14

La función $F$ está definida de los enteros no negativos a los enteros no negativos y satisface la siguiente condición: Para cada $n \geq 0$,

• $F(4n)=F(2n)+F(n)$,
• $F(4n+2)=F(4n)+1$,
• $F(2n+1)=F(2n)+1$

Probar que para cada entero positivo $m$, el número de enteros $n$ con $0 \leq n \leq 2^m$ y $F(4n)=F(3n)$ es $F(2^{m+1})$

La secuencia $f(1), f(2), f(3), ...$ está definida por

$$f(n)=\frac{1}{n} \left (\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{n} \right \rfloor \right )$$

• Probar que $f(n+1)$ es menor a $n$ para infinitas n.
• Probar que $f(n+1)$ es mayor a $n$ para infinitas n.

Problema del Dia 12-06-14 (Xavi)

Sean $C$ y $O$ dos circulos que se cortan en $M$ y $N$. Sea $AB$ la tangente comun a esos circulos de forma que $M$ esta mas cerca de $AB$ que $N$. Sean $X$ y $Y$ las reflexiones de $A$ y $B$ por $M$, y sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncirculo de $MXY$ con $C$ y $O$, respectivamente. Muestra que los circuncirculos de $EMF$ y de $ENF$ tienen el mismo radio.

Dedicado a Willy.


Hallar todas las parejas de enteros no negativos $(x,y)$ tales que $x^3+y$ y $y^3+x$ son ambos multiplos de $x^2+y^2$.

Dedicado a Chacón.

Panda

problema...

en un tablero $2n$ x $2n$ coloreamos de negro algunas casillas, tal que toda casilla (negra o no) tenga al menos un vecino negro. ¿mínimo cuántas casillas coloreé?

Dedicado a: Xavi

problema...

tenemos un tablero triangular equilátero (con líneas horizontales, a 60º y a 120º) que apunta hacia arriba de lado $n$. le quitamos $n$ de sus casillas que apuntan hacia arriba. muestra que el tablero resultante puede ser llenado con diamantitos (que son dos casillas que comparten un lado) si y sólo si todo triángulo equilátero que apunta hacia arriba de lado $k$ tiene a lo más $k$ hoyos.

Dedicado a: Óscar