Como no pude poner problemas la semana pasada, pondré los de la semana pasada hoy. Y ya de pasada cinco para que sea uno para cada uno.
Sean $f$ y $g$ dos polinomios con coeficientes enteros, tal que $f$ tenga mayor grado que $g$. Supongan que hay infinitos primos $p$ tal que $pf+g$ tiene una raiz racional. Demuestren que $f$ tiene una raiz racional.
Dedicado a: Oscar
Sea $f$ una funcion de naturales a naturales, $f^m$ es $f$ aplicada $m$ veces. Supon que para cada natural $n$ existe un minimo natural $k_n$ tal que $f^{2k_n}(n)=n+k_n$. Demuesta que $k_1,k_2,...$ no esta acotada.
Dedicado a: Kevin
Sea $P$ un punto adentro o en la frontera del triangulo $ABC$. Sea $d_a,d_b,d_c$ las distancias de P a $BC,CA,AB$ respectivamente. Demuestren que $max(AP,BP,CP)$ es mayor o igual a $ \sqrt{d_a^2+d_b^2+d_c^2}$.. Encuentra cuando se da la igualdad
Dedicado a: Chacon
Sea un tablero de $3n$ x $3n$ tal que cada columna y fila este numerada del $1$ al $3n$, y $(a,b)$ la casilla en la fila $a$ y columna $b$. Se pinta cada casilla de color A,B o C respectivamente si $a+b$ es congruente a $0,1,2$ modulo $3$. Aparte, se ponen $3n^2$ monedas de cada color A,B,C tal que quede una en cada casilla (no necesariamente casilla del mismo color).
Supon que puedes permutar las monedas tal que una moneda de color A quede donde estaba una de color B, una de color B donde estaba una de color C y una de color C donde estaba una de color A. Supon que en esta permutación la mayor distancia que se movió una moneda es $d$.
Demuestra que desde la configuración antes de esa permutación, se puede mover cada casilla una distancia de a lo más $d+2$ tal que cada moneda quede en una casilla de su color.
Dedicado a: Xavi
Sea $f$ una función de reales a reales tal que $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ para todo $x,y$ reales. Encuentra todas las $f$ posibles.
Dedicado a: Juan.
Sean $f$ y $g$ dos polinomios con coeficientes enteros, tal que $f$ tenga mayor grado que $g$. Supongan que hay infinitos primos $p$ tal que $pf+g$ tiene una raiz racional. Demuestren que $f$ tiene una raiz racional.
Dedicado a: Oscar
Sea $f$ una funcion de naturales a naturales, $f^m$ es $f$ aplicada $m$ veces. Supon que para cada natural $n$ existe un minimo natural $k_n$ tal que $f^{2k_n}(n)=n+k_n$. Demuesta que $k_1,k_2,...$ no esta acotada.
Dedicado a: Kevin
Sea $P$ un punto adentro o en la frontera del triangulo $ABC$. Sea $d_a,d_b,d_c$ las distancias de P a $BC,CA,AB$ respectivamente. Demuestren que $max(AP,BP,CP)$ es mayor o igual a $ \sqrt{d_a^2+d_b^2+d_c^2}$.. Encuentra cuando se da la igualdad
Dedicado a: Chacon
Sea un tablero de $3n$ x $3n$ tal que cada columna y fila este numerada del $1$ al $3n$, y $(a,b)$ la casilla en la fila $a$ y columna $b$. Se pinta cada casilla de color A,B o C respectivamente si $a+b$ es congruente a $0,1,2$ modulo $3$. Aparte, se ponen $3n^2$ monedas de cada color A,B,C tal que quede una en cada casilla (no necesariamente casilla del mismo color).
Supon que puedes permutar las monedas tal que una moneda de color A quede donde estaba una de color B, una de color B donde estaba una de color C y una de color C donde estaba una de color A. Supon que en esta permutación la mayor distancia que se movió una moneda es $d$.
Demuestra que desde la configuración antes de esa permutación, se puede mover cada casilla una distancia de a lo más $d+2$ tal que cada moneda quede en una casilla de su color.
Dedicado a: Xavi
Sea $f$ una función de reales a reales tal que $f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ para todo $x,y$ reales. Encuentra todas las $f$ posibles.
Dedicado a: Juan.
6 comentarios:
Para mi problema...
Sea la ecuación original $(1)$.
Con $x=0$ en $(1)$ obtenemos que $f(0)=0$ ya que $f(yf(0))=f(0)$ y $f$ no puede ser constante.
Con $y=0$ en $(1)$ obtenemos $f(xf(x))=x^2$, ecuación a la que llamaré $(2)$, y llamemos $g(x)=xf(x)$. Con $y=-x$ en $(1)$ obtenemos que $f(-xf(x))=-x^2$, ecuación a la que llamaré $(3)$. Con ésto, tenemos ya que $f$ es suryectiva.
Supongamos que existe $a \neq 0$ tal que $f(a)=0$. Entonces en $(1)$ con $a=x$ tendremos que $a^2=f(af(a+y))$ para toda $y$. Tomemos $e_0$ un número distinto de $a^2$. Por suryectividad existe $e_1$ tal que $f(e_1)=e_0$. Luego, existe $e_2$ tal que $f(e_2)=e_1/a$. Con $y=e_2-a$ tendremos que $e_0=a^2$, contradicción. Entonces $f(a)=0$ sii $a=0$.
Ahora supongamos $f(a)=f(b)$, y sea $k=f(a)$. En $(1)$ con $x=a$, $y=b-a$ tendremos, por $(2)$, que $a^2=f(af(a))=f(af(b))=f(xf(x+y))=$$f(yf(x))+a^2$ y entonces $f(yf(x))=0$. Por tanto, $yf(x)=0$. Si $f(x)=0$ entonces $f(a)=f(b)=0$ entonces $a=b=0$. De lo contrario, $y=0$ y así $a=b$. Obtenemos que $f$ es inyectiva. Por tanto, $f$ es biyectiva.
Por $(2)$, $f(g(x))=x^2$ y $f(-g(x))=-x^2$. Con ésto es fácil ver que $g$ es suryectiva (dada la inyectividad de $f$). Sea $a$ un real cualquiera. Si $a=0$ tengo $f(0)=-f(-0)$. Sea $b$ tal que $g(b)=a$. Entonces vemos que $f(a)=-f(-a)$. De aquí, $f$ es impar.
Ahora mostraré que $f(nxf(-x))=nx^2$ para todo $n \ge 0$ entero, usando inducción sobre $n$. Para $n=0$ es obvio. Lo demostraré para $n$ usando que es cierto para $n-1$. Tenemos por imparidad y por $(2)$ que $f((n-1)g(x))=(n-1)f(g(x))$ para todo $x$. De aquí vemos que $f((n-1)x)=(n-1)f(x)$ dado que $g$ es suryectiva. Ahora, en $(1)$ sea $y=na$ y $x=-a$ para cualquier $a$. Tendremos que
$-a^2(n-1)=f((n-1)af(-a))=$$f(-af((n-1)a))=f(xf(x+y))=$$a^2+f(nxf(-x))$
Y de aquí, $f(nxf(-x))=-nx^2$ para toda $a$. La inducción está completa.
Entonces, usando el argumento de arriba, pues $g$ es suryectiva, encontramos que $f(na)=nf(a)$ para todo $n \ge 0$ entero. Por imparidad vemos fácilmente que $f(ra)=rf(a)$ para todo $r$ racional, para todo $a$ real. A ésta ecuación le llamo $(4)$.
En $(2)$ con $x=1$ y con $x=f(1)$ obtenemos que $f(f(1))=1$ y luego que $f(f(1))=f(1)^2$. Luego $f(1)=1$ ó $-1$. Dado que $f$ es impar, si defino $f_1(x)=-f(x)$, seguirá cumpliendo $(1)$, y entonces puedo suponer sin pérdida de generalidad que $f(1)=1$. De $(4)$, se da $f(r)=r$ para $r$ racional.
De $(1)$ con $x=1$ observemos que $f(f(y+1))=f(y)+1$. A ésto le llamo $(5)$.
Ahora en $(1)$ sea $x \neq 0$ un racional cualquiera y usemos $(5)$ y $(4)$. Resulta que
$x(f(x+y-1)+1)=xf(f(x+y))$$=f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$$=xf(y)+x^2$
y así $f(x+y-1)+1=f(y)+x$. Sea $r=x-1$, se da que $f(r+y)=f(y)+r$ para todo $r \neq -1$ racional y para todo $y$. A ésto le llamo $(6)$.
Utilizemos $(5)$ y $(6)$. Con $r=1$ tenemos que $f(x+1)=1+f(x)$ y entonces $f(x)=1+f(x-1)$. Resulta que $f(f(x))=f(x-1)+1=f(x)$ para todo $x$. Por inyectividad tendremos $f(x)=x$ para toda $x$. Recordemos que supusimos sin pérdida de generalidad que $f(1)=1$, entonces en realidad $-f$ también cumple.
Por ende, las únicas soluciones son:
$f(x)=x$
$f(x)=-x$
Le falta algo al problema de la funcion de naturales a naturales no? digo si pudiese ser cualquier funcion $f(n)=n+1$ tiene $k_i$ acotado pues todos son 1 no?
Para el de Luis
Queremos ver que si tenemos un círculo de radio $R$ centro $P$ y tres puntos $ABC$ dentro, entonces la suma de los cuadrados de las distancias del centro a los tres lados es menor o igual a $R^2$. Es fácil ver que podemos "inflar" el triángulo, así que SPDG $P$ es el circuncentro de $ABC$, y que quede dentro de él, y por tanto será acutángulo. Como la distancia de $P$ a $BC$ es $R^2-a^2/4$ donde $a=BC$, vemos que el problema es equivalente a ver que
$8R^2 \le \sum_{cyc} a^2$
Y se reduce a ver que si $a+b+c=180º$ con $0<a,b,c<90$ entonces
$\sum_{cyc} sin^2(a) \ge 2$.
Pero, fijando $a$, mostraré que esa suma se minimiza con $b=90$ o $c=90$.
Para hacer ésto, basta con ver que dadas dos rectas y un círculo, la suma de los cuadrados de las distancias de un punto sobre el círculo a las rectas se minimiza cuando el punto yace sobre las rectas. Per vemos que, si fijamos la suma de los cuadrados de las distancias, el lugar geométrico de los puntos será una elipse con focos sobre la bisectriz de las rectas (aplicando una tranformación afín al plano donde las rectas son los ejes y el círculo unitario se transforma en una elpise). Entonces es fácil ver ésto.
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