f(x+g(y))= xf(y) - yf(x) +g(x) para todos los reales $x,y$
2.-Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triangulo acutangulo $ABC$. Prueba que existen puntos $D$, $E$,y $F$ en los lados $BC$, $CA$, y$AB$ respectivamentente, tales que
![\[ OD + DH = OE + EH = OF + FH\]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tOmrck1qu_3NrZWq5C0uv9Q9KxkCq0WvXcr7acul05WGu-4CCoTgf560gGGCrlK_Za94LK6mWslpFj5fxy0YgtBX5kK2hcJu_x9DFBGJsud3ADHLthzKsooO4gb0LoadMAgrDABuZf9PJKHqanWrb-_EazTuvCRkdbgw=s0-d)
y las lineas $AD$, $BE$, y $CF$ sean concurrentes.
7 comentarios:
Sean $P, Q, R$ las intersecciones de $AH, BH, CH$ con el circuncirculo de ABC. Tomamos $D$, $E$ y $F$ como las intersecciones de $OP, OQ, OR$ con $BC, CA, AB$ respectivamente. Como $H$ y $P$ son simétricos respecto a $BC$, tienes $DH = HP$, entonces $DH + DO = DO + DP = OP = R$, y si se cumple lo de las sumas. Nos falta ver que concurren. Llamamos $\alpha. \beta, \gamma$ a los angulos del triangulo, por angulitos y generalizado de la bisectriz en $BOC$ tienes $\frac{BD}{DC} = \frac{\sin 180 - 2\beta}{\sin 180 - 2\gamma}$. Sacas las analogas y acabas con Ceva
2. Continuidad.
1. estan bien feas las que cumplen
¡Orale! esta interesante la condición de que D, E y F estén sobre una elipse con focos O y H
Pablo y esa cosa es tangente a los 3 lados :)
AH! y se cumple para cualesquiera isogonales, no solo O y h
Y las cevianas que unen los vértices con los puntos de tangencia concurren por Brianchon :p
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