Determina si existe un entero positivo $m$ tal que la ecuación \[ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over abc}={m\over a+b+c} \] tiene una infinidad de soluciones en los enteros positivos $a$, $b$, $c$.

Difícil y aburrido

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con ángulo recto en $C$ y $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto sobre el segmento $CD$. Sean $K$ y $L$ puntos en los segmentos $AX$ y $BX$ respectivamente tales que $BK = BC$ y $AL = AC$. El circuncírculo de $DKL$ intersecta al segmento $AB$ por segunda vez en $T$. Muestra que $\angle ACT = \angle BCT$.

Secuencia difícil

Hola, me encontré este problema ayer y se me hizo bastante difícil e interesante así que quiero compartirlo con ustedes.
Sea {a_n}, para $n \ge 1$ una secuencia de enteros positivos que satisface $ 0 < a_{n+1} - a_n < 2017$ para todos los enteros positivos $n$. Demuestra qué hay infinitas parejas $(p,q)$ tales que $a_p$ divide a $a_q$.

Martes de Combi (¡En martes!)

Hola Chicos

Hoy no les quedo mal.

Sean $a,b$ dos números naturales distintos. El conjunto $\{ x, y, z \}$, con x < y < z se dice $(a,b)$-adaptado si $\{z-y, y-x\} = \{ a, b \}$. Prueba que el conjunto de números naturales puede escribirse como unión de conjuntos $(a,b)$-adaptados disjuntos.

Problema del sabado 17 de junio

Muestra que un torneo con 799 equipos, existen 14 equipos tales que, cada uno de los primeros 7 equipos han ganado el juego en contra de cada uno de los últimos 7 equipos.

Jueves de Geometría en Viernes (mas compensación)

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Las rectas $BH$ y $CH$ cortan a $AC$ y $AB$ en
$D$ y $E$, respectivamente. El circuncírculo de $\triangle ADE$ corta el circuncírculo de $\triangle ABC$ en $F \neq A$. Demuestra que las bisectrices internas de $\angle BFC$ y $\angle BHC$ se cortan en un punto sobre el segmento $BC$.

2. Dos circunferencias $C_1$ y $C_2$, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, se cortan en dos puntos $A$ y $B$. Sean $X$ e $Y$ puntos sobre $C_1$ distintos de $A$ y $B$. Las rectas $XA$ y $YA$ cortan a $C_2$ nuevamente en $Z$ y $W$ respectivamente. Sean $M$ el punto medio de $O_1 O_2$, $S$ el punto medio de $XA$ y $T$ el punto medio de $WA$. Demostrar que $MS = MT$ si y sólo si $XYZW$ es cíclico.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo en el que se han trazado las alturas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$. Sea $A_2$ un punto del segmento $AA_1$ tal que $\angle BA_2C=90^\circ$, se definen análogamente los puntos $B_2$ y $C_2$. Sea $A_3$ el punto de intersección de los segmentos $B_2C$ y $BC_2$, se definen análogamente los puntos $B_3$ y $C_3$. Pruebe que los segmentos $A_2 A_3$, $B_2B_3$ y $C_2 C_3$ son concurrentes.

Martes de combi (en miércoles otra vez)

Hola chicos.

Una disculpa nuevamente por el desfase en la publicación.

Determina el mínimo y máximo número de triángulos orientados (triángulos en los que las aristas forman un ciclo siguiendo el orden de las flechas) que pueden encontrarse en una gráfica completa dirigida con n vértices.

álgebra en miércoles

Encuentra todas las funciones $f$ de los reales a los reales tales que para todos los reales $x$, $y$, $z$, $t$ se tiene que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \]

Problema del sábado 10 de junio.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplen que para todos
$x$ y $y$ numeros reales
$$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x).$$

Problema Teoría de Número Viernes 9 de junio

Sean $f,g : \mathbb{Z} ^{+} \rightarrow  \mathbb{Z} ^{+} $ 

transformaciones con las siguientes propiedades:\\

a) $g$ es suprayectiva.\\

b) $ 2 f(n)^{2} = n^{2} + g(n)^{2} $ para todos 

los enteros positivos $n$.\\

c) $ \mid f(n) - n \mid \leq 2004 \sqrt{n} $, para toda $n$

Demuestra que $f$ tiene una cantidad infinita de puntos fijos.

Problema Teoría de Números del Viernes 2 de junio

 Si $n > 0$ es un entero tal que $s(n) =2$, 

¿Cúal es el mayor valor de $s(n^{10} )$? 

Recuerda que $s(n)$ denota a la suma de los dígitos de $n$.

Jueves de Geometría 2.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El punto $X_A$ está sobre la tangente por $H$ al circuncírculo del triángulo $BHC$ de forma que $AH=AX_A$. De manera análoga se definen $X_B$ y $X_C$. Muestra que el triángulo $X_AX_BX_C$ es semejante al triángulo ortico del $ABC$. 

Martes de combi (en miércoles)

Hola chicos

Una disculpa por no subir problema ayer. Va el problema de combi de la semana:

Sea $n\geq 2$, tal que existen números naturales distintos $a_1,a_2, ... a_n, b_1, b_2, ...b_n$ con la propiedad que las $C^{n}_{2}$ (n en dos)  sumas $a_i+a_j$ son iguales a las $C^{n}_{2}$ sumas $b_i+b_j$ (en algún orden). Prueba que $n$ es una potencia de 2.

Sugerencia: sea $f(x) = \sum x^a_i$, $g(x) = \sum x^b_i$. Encuentra una ecuación algebraica que relacione f y g. Si n no es potencia de 2, esta ecuación algebraica no tiene solución. Usa inducción y derivadas para demostrarlo.

Problema del sabado 3 de junio

Dado un numero natural $k$, encuentra todas las funciones
f : \mathbb{N} \to  \mathbb{N}$
tales que para cada $m$, $n$ enteros positivos, se tiene que
f(m)+f(n) divide  a (m+n)^k.

Problema del miércoles

Los números reales $p$, $q$, $r$ y $s$ cumplen que $p+q+r+s=9$ y $p^2+q^2+r^2+s^2=21$. Demuestra que existe una permutación $(a,b,c,d)$ de $(p,q,r,s)$ tal que $ab-cd\geq 2$.

Jueves de Geometría

Les dejo este problema que me gusta mucho.

(APMO 2006 P4.) Sea $\Omega$ una circunferencia con cuerda $AB$. La circunfenrencia $\omega$ es tangente a la cuerda $AB$ en su punto medio y a $\Omega$. Supongamos que la tangente desde $B$ a $\omega$ corta a $\Omega$ en $C$. Muestra que la circunferencia que es tangente a $AC$ en su punto medio y que también es tangente a $BC$ es una circunferencia tangente a $\Omega$.

Problema del miércoles

Demuestra que el conjunto de enteros positivos que no se pueden representar como la suma de cuadrados perfectos distintos es finito.

Martes de Combi - Matrices

Todas las entradas de una matriz de $n \times n$ son todas números enteros positivos. Se permite realizar las siguientes operaciones: multiplicar por 2 todos los números de una fila, o bien, restarle 1 a todos los números de una columna. Prueba que mediante estas operaciones podemos llegar a que todas las entradas de la matriz sean 0.