Si $n > 0$ es un entero tal que $s(n) =2$,
¿Cúal es el mayor valor de $s(n^{10} )$?
Recuerda que $s(n)$ denota a la suma de los dígitos de $n$.
viernes, 9 de junio de 2017
Problema Teoría de Números del Viernes 2 de junio
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1 comentario:
Multiplicar por 10 no afecta $s(n)$ o $s(n^{10})$, entonces podemos suponer spg que $10 \nmid n$. En este caso tenemos $n = 2$ o $n = 10^m + 1$ para algún $m \geq 1$. En el primero evidentemente tenemos $s(n^{10}) = 7$, mientras que en el segundo tenemos:
$$s(n^{10}) = s\left((10^m + 1)^{10}\right) = s\left(\sum_{i = 0}^{10} \binom{10}{i}10^{mi}\right)$$
Y usando que $s(a + b) = s(a) + s(b)$ esto es menor o igual que
$$\sum_{i = 0}^{10} s\left(\binom{10}{i}10^{mi}\right) = \sum_{i = 0}^{10} s\left(\binom{10}{i}\right) = 43$$
La igualdad sucede para $m$ grande pues los sumandos $\binom{10}{i} 10^{mi}$ no tienen dígitos distintos de cero en común, entonces el máximo es 43
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