Conjuntos en una cantidad impar de subconjuntos.

Denotamos por P(S) al conjunto de los subconjuntos de S.

Tomemos N={1,2,...,n}. La función f:P(P(N)) - > P (P(N)) manda un subconjunto de subconjuntos C al subconjunto de subconjuntos que están contenidos en una cantidad impar de elementos de C.
Por ejemplo, si N={1,2,3} y C={{1},{2},{1,2},{1,3},{1,2,3}}, entonces f(C)={vacío, {2},{23},{123}}, pues {2} está contenido en una cantidad impar de elementos de C (en {2}, {1,2} y {1,2,3}), y así con el resto.

Demuestra que f(f(C))=C.

Hola. Para quienes ya conocían el problema de geometría que les puse, aquí les va este:

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, sean $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$, respectivamente. Sea $P$ la intersección de $EF$ con $BC$. Por el punto $D$ trazamos una paralela a $EF$ que corta a $AB$ y $AC$ en $Q$ y $R$, respectivamente. Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $MPQR$ es un cuadrilátero cíclico.

Problema del 1 de septiembre

Demostrar que si a^n+n divide a b^n+n para todo n entonces a=b.

Solución del 2 de sep

Aplicamos inversión con centro $F$ y como los circuncírculos de $BCF$ y $DEF$ son tangentes, entonces las rectas en las que se invierten son paralelas, lo mismo pasa con las circunferencias $BEF$ y $CDF$. Entonces $B_1E_1D_1C_1$ es un paralelogramo. Luego $\angle BCD= \angle BED$ pero $\angle BCD= \angle BCF+ \angle FCD$ y $\angle BED= \angle BEF+ \angle FED$. Luego sabemos que para cualesquiera puntos $X, Y \neq F$ se tiene $\angle FXY= \angle FY_1X_1$. Entonces

\[\angle FB_1E_1+\angle FD_1E_1=\angle FB_1C_1 + \angle FD_1C_1\]

Pero como $B_1E_1D_1C_1$ es paralelogramo también

\[\angle FB_1E_1+\angle FB_1C_1=\angle FD_1E_1 + \angle FD_1C_1\]

De donde

\[\angle FB_1E_1= \angle FD_1C_1\]

de esto se concluye fácil que $B_1,F,D_1$ son colineales. Por otra parte $BE$ se invierte en $\Gamma_{1}$, el circuncírculo de $B_1E_1F$ y $CD$ se invierte en $\Gamma_{2}$, el circuncírculo de $C_1D_1F$. Entonces $A_1$ es la intersección de $\Gamma_{1}$ y $\Gamma_{2}$ con $A_1\neq F$. Usando cíclicos y paralelas:

\[ \angle FA_1C_1+ \angle FA_1E_1= \angle FD_1C_1+(\pi -\angle FB_1E_1)=\pi\]

Entonces $C_1, A_1$ y $E_1$ son colineales y por lo tanto $F,C,A$ y $E$ son concíclicos.

2 de septiembre de 2010

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC < \angle ACB$. Sean $D$, $E$ puntos sobre los lados $AC$ y $AB$ tal que los ángulos $ACB$ y $BED$ son congruentes. Si $F$ es un punto en el interior del cuadrilátero$BCDE$ tal que el circuncírculo del triángulo $BCF$ es tangente al circuncírculo de $DEF$ y el circuncírculo de $BEF$ es tangente al circuncírculo de $CDF$, prueba que los puntos $A$, $C$, $E$ y $F$ son concíclicos.

Problema 31 de Agosto 2010

Demostrar que para cada numero natural n hay una potencia de 2 cuya expresion decimal tiene entre sus ultimos n digitos (de la derecha)mas de (2/3)n - 1 digitos que son iguales a cero.

Dada una circunferencia $K$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $K$, con $AD$ tangente a $K$ en $P$ y $CD$ tangente a $K$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $K$ y sea $M$ el punto medio de $XY$. Demuestre que $\angle AMP = \angle CMQ$

Resultados de los examénes selectivos para la ibero

Prob 1 Prob 2 Prob 3 Prob 4 Prob 5 Prob 6 Prob 7 Prob 8 Prob 9
Daniel 7 7 6 7 7 7 7 7 7 62
Flavio 7 7 6 7 7 7 7 7 6 61
Irving 7 0 7 7 2 7 7 7 7 51
Manuel 7 1 4 7 2 7 7 7 3 45
Georges 7 0 4 7 5 0 7 7 2 39
Jose Luis 7 1 0 7 1 0 7 7 1 31

Acerca del posible lugar de Mexico en la ibero.

Acerca de la discusion entre David y Georges en torno al analisis de este ultimo y de como
son los procesos en otros paises para elegir delegaciones, me gustaria remarcar varias cosas.

1. Les pedia que realistamente me dijeran el lugar en el que Mexico debe quedar en la ibero, basados en varias cosas, como ya lo apunto Georges, pero se les olvida una cosa, cuando Mexico gano la ibero en el 2006, entre los cuatro de la delgacion mexicana estaban Pablo, Joshua e Isaac, que si mal no recuerdo estan en el top 4 del Hall of Fame que hizo David. (Por cierto le pedimos de favor a David que nos mande el Hall of Fame actualizado para ver el lugar de Daniel)

2. Por mucho tiempo se ha pensado que Brasil tenia ventaja en la ibero (y no me acuerdo que otro pais) pues en sus delegaciones llevan estudiantes que ya llevan al menos seis meses en la licenciatura (algunos de ellos en el IMPA), esto porque las reglas de la ibero asi lo permiten. Claro que esto puede debatirse pues Mexico les gano en el 2006 y Peru en el 2009.

3. No se si se puede decir que otros paises no llevan sus mejores delegaciones a la ibero, pues sus procesos y reglamentos para asistir son diferentes, asi como el de nosotros. Ejemplo, hay varios paises donde los cuatro mejores de la IMO (que puedan participar) califican directamente a la ibero, sin embargo, en Argentina su reglamento creo que no permite llevar exactamente los mismos participantes, solo algunos.

4. Otros paises quieren llevar delegaciones diferentes a la IMO, Ibero y centro para darle mas oportunidad a mas estudiantes pero esto no significa que manden los mejores estudiantes a la IMO.

Acerca del problema del 17 de agosto

Perdon por el error, la traduccion del ruso al ingles de la redaccion del problema estaba mal, asi que tuve que buscar alguien que me tradujera el problema en ruso. Tienen razon cada par de ciudades conectadas se interpreta como una aerolinea diferente.

Georges, Flavio e Irving interpretaron el problema correctamente y resolvieron bien la desigualdad, sin embargo los tres estan mal en la parte de la condicion para la igualdad o al menos les faltan considerar casos donde se da la igualdad.

Jose Luis, Manuel y Daniel tienen tache pues ni siquiera comentaron.

Solución problema 16 de agosto

Informacion del Entrenamiento en Cuernavaca (Alumnos y Entrenadores)

Hola a Todos

El entrenamiento sera en la Facultad de Ciencias de la UAEM y el hospedaje sera en el hotel Villa Calmecac, toda la informacion la pueden encontrar en

www.villacalmecac.com

Los examenes selectivos seran
domingo 22, martes 24 y jueves 26, todos por la MANANA

Saludos

Rogelio

Problema del 17 de agosto

En cierto pais hay $n$ ciudades, algunas de las cuales estan conectadas
por aerolineas que van de ida y vuelta. Hay $m$ aerolineas diferentes en total.
Para $i=1, 2, \dots, n$, sea $d_i$ el numero de aerolineas que salen de la ciudad $i$. Si
$1 \leq d_i \leq 2010$ para cada $i=1, 2, \dots, 2010$, muestra que
$$\sum_{i=1}^n d_i^2 \leq 4022m - 2010n.$$

Encuentra todos los $n$ para los cuales la igualdad se alcanza.

Problema del 16 de agosto (unas horas tarde)

Hola,

Les dejo este problema:

"En un círculo se escriben números rojos y números azules. Cada número rojo es la suma de los dos números que están a sus lados, y cada número azul es la mitad de la suma de los números que están a sus lados. Demuestra que la suma de los números rojos es cero."

Al rato checo para ver si ya les salió o dejo una sugerencia,

Saludos,

Pablo

Triángulos rectángulos congruentes

Hola a todos, mucho ánimo con los entrenamientos. Les dejo el siguiente problema:

Se comienza con cuatro triángulos rectángulos congruentes. En un paso, es permitido tomar uno de ellos y cortarlo por la altura a la hipotenusa, obteniendo así dos nuevos triángulos (y perdiendo el anterior).

Demuestra que sin importar que pasos hagas, siempre habrá dos triángulos congruentes.

Problema del 15 de agosto

Prueba que cada numero entre 1 y n! puede ser escrito como la suma de a lo mas n divisores distintos de n!

Varias Cosas

Hola a Todos

Se que en los ultimos dos dias no hubo problemas, espero que esto se restablezca pronto, es decir, espero que hoy ya tengan problema para trabajar.

Acerca de sus comentarios, bueno, creo que Jose Luis solo dije Aye y despues ya no ha tenido ninguna participacion en el blog, no se que pasa con el.

Acerca de la pregunta que les hice acerca de lo minimo que se debe sacar en la ibero, respondieron Georges, Irving, Manuel y Daniel y todos coincidieron en plata. Los que no dijeron nada fueron Jose Luis (de hecho no ha participado) y Flavio (que sabemos que esas cosas no son importantes para el)

Ahora la pregunta es la siguiente: siendo realistas, basados en la historia de la ibero y en los resultados de la IMO, en que lugar debe quedar Mexico como pais en la ibero?

Problema del día 11

(Este es el problema que Fer no pudo poner en una nueva entrada)

El problema del día 11 es el siguiente:
Probar que la secuencia 1, 11, 111,... contiene una subsecuencia de primos relativos por parejas.

Problema del día 11 de agosto de 2010

Fer escribio un comentario en el problema del 10 de agosto que dice:

Hola, se que esto no va aquí pero tengo problemas para acceder.El problema del día 11 es el siguiente:Probar que la secuencia 1, 11, 111,... contiene una subsecuencia de primos relativos por parejas.

Lo pongo aqui para que todos lo vean
Saludos

Problema del día 12 de agosto de 2010

Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ tal que $\angle APC=120$. Sea $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Encuentra el lugar geométrico de los circuncentros de los triángulos $MBN$ cuando $P$ varía.

Resultados de Mexico en la ibero

Hola a Todos

Como David (el pajon mayor) se encuentra perdido en Montana con rumbo a Saskatchewan, me toca hacerles la primera pregunta acerca de la ibero, segun cada uno de ustedes, cual debe ser el resultado del alumno de Mexico que quede en el cuarto lugar entre los cuatro que van representando a Mexico.

Donde esta Daniel?

Me gustaria saber si alguien sabe algo de Daniel
pues no ha aparecido en el blog

Problema del Dia 10 de Agosto

Encuentra los últimos tres dígitos de $2003^{2002^{2001}}$.

Solucion al problema 09 de agosto

Problema 9 de Agosto!!! We're back!!!

Sea $ABC$ un triángulo con $CB\neq AC$ y con el ángulo $\gamma=\angle ACB$ agudo dado, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Se elige el punto $P$ del segmento $CM$ de modo que las bisectrices de los ángulos $\angle PAC$ y $\angle PBC$ se intersecten en un punto $Q$ sobre $CM$. Hallar la medida de los ángulos $\angle APB$ y $\angle AQB$.



Les mando un saludo a todos y bienvenidos quienes no habían estado trabajando en el blog!!!

identidad desconocida

Quien es Felipe?

Guia para usar LaTeX

 Tomado directamente del blog de la olimpiada en Chihuahua:

Para poner un codigo en LaTeX basta ponerlo entre signos de $, si lo pones entre doble signo de $ saldra en linea pero con letra mas grande y para ponerlo grande y centrado hay que ponerlo asi hay que ponerlo asi: $\backslash [ codigolatex \backslash]$ (en este caso no es necesario usar signos de pesos)

Aqui hay una guia en otro sitio que esta muy buena http://www.matetam.com/de-consulta/acordeones/latex

Si ves alguna expresión matemática en este blog y quieres saber como se escribió, solo basta poner el cursor encima de la expresión matemática y saldrá el código LaTeX que se usó para esa formula.

Aqui un ejemplo:
\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Es la formula general para las ecuaciones cuadráticas, es decir de la forma $ax^2+bx+c=0$

Pueden hacer experimentos con los comentarios de este post.

Ademas aqui esta una pagina con mas ejemplos:
http://www.watchmath.blogspot.com/ 

Usuarios mas experimentados con el uso de $$\LaTeX{}$$ seria bueno que pusieran algunos tips.

Isaí Vázquez

llege

AYE,

Ahora rumbo a la Ibero !!! Say AYE si ya llegaron al blog ....

AYE !

Probando LaTeX

$\LaTeX{}$
$$\LaTeX{}$$
\[\LaTeX{}\]

 Le instale $\LaTeX{}$ al blog, funciona y tambien en los comentarios!

Ahora si van poder publicar soluciones mas agusto para cuando entrenen para la Ibero.

Saludos.

Isaí Vázquez