México rumbo a la IMO

lunes, 7 de febrero de 2011

Competencia de Invierno: Examen #5 (30 minutos)

Recuerden el Codigo de Honor !!!!!!!!!!!

P1 - Sea $P$ un punto interior del triangulo $ABC$ , extendemos lineas de los vértices a través de $P$ a los lados opuestos. Sea $a$ , $b$ , $c$ , $d$ las longitudes de los segmentos indicados en la figura. Encuentra el producto $abc$ si $a + b + c = 43$ y $d = 3$ .

P2- $6! = 8 \cdot 9 \cdot 10$ . Encuentra el mayor entero positivo $n^{}_{}$ para el cual $n^{}_{}!$ puede ser expresado como el producto de $n - 3_{}^{}$ enteos positivos consecutivos.

P3- Un triangulo tiene vertices $P_{}^{}=(-8,5)$ , $Q_{}^{}=(-15,-19)$ , y $R_{}^{}=(1,-7)$ . La ecuacion de la bisectriz de $\angle P$ puede ser escrita en la forma $ax+2y+c=0_{}^{}$ . Encuentra $a+c_{}^{}$ .

P4- La función $f$ , definida en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades:

$\begin{eqnarray*} f(x,x) & = & x, \\f(x,y) & = & f(y,x), \quad \text{and} \\(x + y) f(x,y) & = & yf(x...$ Calcula $f(14,52)$ .

P5- La secuencia creciente $2,3,5,6,7,10,11,\ldots$ consiste de todos los enteros positivos que no son ni el cuadrado ni el cubo de un entero positivo. Encuentra el termino 500th de la sucesion.

P6- Sea $|x_i| < 1$ para $i = 1, 2, \dots, n$ . Ademas sea $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|.$

Cual es el menor valor posible de $n$ ?

P7- La funcion f esta definida en el conjunto de los enteros y satisface $f(n)=\begin{cases}n-3&\mbox{if}\ n\ge 1000\\f(f(n+5))&\mbox{if}\ n<1000\end{cases}$

Encontrar $f(84)$ .

Competencia de Invierno...?

Hola, quisiera saber si hoy habrá competencia de invierno a las 9:00 P. M.

domingo, 6 de febrero de 2011

Último Día

Hola a Todos:

Les recuerdo que hoy es el último día para que publiquen soluciones de los problemas que les faltan, de esta semana y de la anterior, cuando fueron los entrenamientos.

También los invito a que comenten en el lounge del día de ayer, ya que nadie ha comentado nada, al igual que en el problema del 25 de enero, en el que nadie comentó una sola palabra.

Saludos a todos, y manténganse activos como siempre.
Chino

sábado, 5 de febrero de 2011

Lounge Olímpico: Sábado 5 de Febrero de 2011

Háblanos un poco de lo que piensas sobre los siguientes conceptos:

a) La sociedad en la que vives
b) Los amigos que tienes en el presente
c) Tu familia
d) La vida

se los pregunto porque estoy seguro que no solo son capaces de profundizar en temas matemáticos, sino que pueden tener profundidad de pensamiento en muchos otros temas

Un saludo desde Las Vegas

Panda

viernes, 4 de febrero de 2011

Problema del Día - 4 de febrero 2011 (teoría de números)

Sea $S$ un conjunto de números racionales tal que se cumplen las siguientes 3 cosas:

1) $0 \in S$

2) Si $x\in S$, entonces $x+1\in S$ y $x-1\in S$.

3) Si $x\in S$ y $x\not\in\{0,1\}$ entonces $\frac{1}{x(x-1)}\in S$.

Estará $S$ forzado a contener a todos los racionales.

jueves, 3 de febrero de 2011

Problema del día: 3 de febrero (álgebra)

Encuentra todos los polinomios $P$ en dos variables con las siguientes propiedades:

\noindent Para un entero positivo $n$ y todos $x$, $y$, $t$ reales se tene que $P(tx,ty)=t^nP(x,y)$.

\noindent Para todos los reales $a$, $b$, $c$, $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0$.

\noindent $P(1,0)=1$.

miércoles, 2 de febrero de 2011

Competencia de Invierno; Examen 2 de Feb (30 minutos)

1- Dada la sucesión

$1, - 2,3, - 4,5, - 6,\ldots,$

cuyo enésimo termino es $( - 1)^{n + 1}\cdot n$ . Cual es el promedio de los primeros $200$ términos de la sucesión?

2- El numero de dígitos de $4^{16} 5^{25}$ (escrito en su forma decimal) es:

3- La funcion $f(x)$ satisface $f(2+x) = f(2-x)$ para todos los números reales x. Si la ecuación $f(x) = 0$ tiene exactamente 4 raíces reales distintas, entonces la suma de esas raíces es:

4- Un triangulo rectángulo $ABC$ con hipotenusa $AB$ tiene lado $AC = 15$ . La altura $CH$ divide $AB$ en los segmentos $AH$ y $HB$ , con $HB = 16$ . El área del $\triangle ABC$ es:

5- Una caja contiene 11 bolas, numeradas 1,2,3,....,11. Si 6 bolas son sacadas simultáneamente al azar, cual es la probabilidad de que la suma de los números en las bolas sacadas sea impar?

6- Cuantos enteros de 4 dígitos diferentes hay entre $1,000$ and $9,999$ tal que el valor absoluto de la diferencia entre el primero y el ultimo dígito es $2$ ?

7- En una sucesión geométrica de números reales, la suma de los primeros 2 términos es 7, y la suma de los primeros 6 términos es 91. La suma de los primeros 4 términos es :

8- El numero de soluciones reales de la ecuación

$\frac{x}{100} = \sin x$

es:

Problema del Dia 2 de Febrero

Se quiere llenar una caja de $7\times 7\times 7$ con ladrillos de $1\times 1\times 3$. Como $7^3$ no es divisible entre tres, esto no se podrá hacer exactamente, pero se puede hacer dejando un cubito hoyo $H$ sin cubrir. Demuestra que en un acomodo en el que $H$ está en el cubo de $5\times 5 \times 5$ interno se tiene que $H$ es el cubito central.

martes, 1 de febrero de 2011

Algunos problemas de Fibonaccis

Hola a todos, espero que hayan regresado bien de Colima. Algunos problemas pre-problema del día:

Demuestra que:

(a) $F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$
(b) $F_n^4=F_{n-2}F_{n-1}F_{n+1}F_{n+2}+1$
(c) $\sum_{i,j\geq 0}{\binom{n-i}{j}\binom{n-j}{i}}=F_{2n+2}$

Bonus points a quien encuentre pruebas combinatorias!

Atentos mañana al problema del día!

Problema del Día: Martes 1ro de Febrero

Con un triángulo dado, construimos 3 puntos nuevos reflejando cada vértice con respecto al lado opuesto del triángulo. Demuestre que estos 3 nuevos puntos son colineales si y sólo si la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo es igual al diámetro del circuncírculo del triángulo.