México rumbo a la IMO: Problema 23 mayo, algunas ideas...

lunes, 24 de mayo de 2010

Problema 23 mayo, algunas ideas...

12 comentarios:

Unknown dijo...: Jajaja, creo que el problema re-escrito se ve más feo!; 24 de mayo de 2010, 9:02 p.m.
Enrique Treviño dijo...: Pues no necesitas "hacer trampa" para decir que {raiz(3)k} < 1/1000 para algun k. Es un resulado medio famoso que viene en en Engel.

De hecho tratalo como ejercicio:
Sea x un número irracional. Sea epsilon un número > 0. Demuestra que para todo y entre 0 y 1, existe un entero k, tal que la parte entera de kx cae en el intervalo (y-epsilon, y+epsilon).; 24 de mayo de 2010, 9:35 p.m.
Unknown dijo...: Yo no me sabía ese,se ve que no está fácl de probar, pero deja lo intento a ver qué se me ocurre. Lo busqué en el libro, es ese del monito que camina sobre una circunferencia que tiene un hoyo ,no?; 24 de mayo de 2010, 10:17 p.m.
Enrique Treviño dijo...: Busque en el Engel ejercicios que involucren esta idea de estar cerca de un entero.

Aquí van algunos del capítulo 4 (Principio de Casillas):
Problema 32: Demuestra que entre los reales a,2a,3a,...,(n-1)a existe uno que esta a distancia menor o igual a 1/n de un entero.

Problema 52 (este es el que mencionaba en el comentario anterior):
Tenemos un círculo de longitud 1. Un hombre camina pasos de longitud alpha alrededor del círculo. El círculo tiene un hoyo de longitud epsilon > 0. Demuestra que tarde o temprano, caerá en el hoyo sin importar donde empiece y que tan chico sea epsilon.

Este problema es muy útil, de hecho Engel lo usa para varios ejercicios que salen después en el capítulo, pondré sólo un ejemplo más:

Problema 53: Demuestra que existe una potencia de 2 cuyos primeros 6 dígitos son nueves.

Engel da dos pistas para este problema, si las quieres luego te las paso.; 24 de mayo de 2010, 10:18 p.m.
Enrique Treviño dijo...: Sí, es del hoyo.; 24 de mayo de 2010, 10:18 p.m.
Unknown dijo...: Gracias por los problemas, mañana los intento a ver que sale. Pero de todas formas creo que sería bueno que pusieras las sugerencias, como que este tipo de problemas con partes enteras y fraccionarias no me salen. De todas formas los voy a intentar un poco antes de ver la sugerencia.; 24 de mayo de 2010, 10:30 p.m.
Enrique Treviño dijo...: El problema 32 está sencillo y de cierta manera es pista para el 52.

Para el 53, nota que lo que buscas es un n y un k tal que
999999x10^k < 2^n < 10^(k+6)
Por lo tanto
k + log(999999) < nlog(2) < k+6

Ahora usa epsilon = 6 - log(999999) y alpha = log(2).

Esas son las pistas de Engel.

Para el 52, nota que si alpha es irracional, nunca tocarás el mismo punto de nuevo.
Nota que si te puedes acercar al origen tanto como quieras, entonces podrías avanzar esos pasos. Ejemplo, si después de k pasos terminas a epsilon/2 del origen, entonces cada k pasos de ahora en adelante avanzas epsilon/2 del origen y tarde o temprano caes en el hoyo.

Allí están casi resueltos los 3, suerte.; 24 de mayo de 2010, 11:01 p.m.
Unknown dijo...: Está muy bueno ese resultado para los irracionales. Si, ya estaba casi resuelto con lo que pusiste. Primero para mostrar que nunca tocas el mismo punto dos veces supones que sí lo haces y es fácil llegar a que esto implica que alpha es racional! Entonces ya sólo que usar el problema 32, tomamos un n tal que 1/n < epsilon. Por el problema 32 existe m< n+1 tal que m(alpha) queda a distancia menor o igual a 1/n del centro. Entonces avanzamos de m en m pasos y como epsilon> 1/n, tarde o temprano el monito cáe el el hoyo.; 25 de mayo de 2010, 6:56 p.m.
Enrique Treviño dijo...: Correcto.

En su solución del inciso A, Diego menciona que se puede demostrar con fracciones continuas. Lo útil de fracciones continuas, es que además de demostrar que raíz de 3 se acerca a un entero, también te dice cuando se acerca a un entero, lo cual puede ayudar para el inciso B.; 25 de mayo de 2010, 7:43 p.m.
Unknown dijo...: Y dónde podría encontrar algún artículo o explicación de la demostración con fracciones continuas? Porque Diego sólo lo menciona.; 25 de mayo de 2010, 8:18 p.m.
Enrique Treviño dijo...: Wikipedia es un buen lugar para leer sobre fracciones continuas.

La idea clave es que las fracciones continuas se usan para encontrar racionales que aproximan un irracional y esos racionales que se crean se llaman convergentes. Hay teoremas poderosos de que tan cerca está el irracional a sus convergentes.

Yo use wikipedia en inglés, pero ahorita le eche una ojeada al de español y se ve bueno también.

En cuestión a libros, a muchos les gusta Niven y Zuckerman. Yo use Leveque, pero pues no sé que libros de teoría de números tengas a la mano.

Si tienes preguntas sobre lo que esta en wikipedia, te puedo tratar de explicar por aquí.; 25 de mayo de 2010, 8:31 p.m.
Unknown dijo...: Sale, pues tengo el Niven, voy a darle una hojeada a lo de fracciones continuas.; 25 de mayo de 2010, 9:08 p.m.

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