Hola, Entiendo que mando este problema tarde pero técnicamente sigue siendo 27 de mayo. El problema que les mando es bastante bonito y parece que les encanta este tipo de trucos en la IMO, a ver qué les parece
Problema:
Dado p un número primo, encuentra el número de subconjuntos de { 1, 2, 3, ... , 2p } de p elementos tales que su suma sea un múltiplo de p.
Saludos desde Puerto Rico,
Pablo
jueves, 27 de mayo de 2010
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7 comentarios:
Suerte para ti y los muchachos por allá Pablo
si (n en k)=n!/[k!(n-k)]
me dio que la respuesta es
{[(2p en p)-2]/p}+2
use que cualquier subconjunto de p elementos se puede derivar de tomarnos el subconjunto base [1,2,....,p} y los sobrantes p+1,...2p y elegir k elementos de la base y k de los sobrantes e intercambiarlos, con k menor o igual a p y veo que para 1<=k<=p-1 como la suma de la base es divisible entre p igual que los sobrantes, entoncespara que el nuevo subconjunti sirva, la suma de los K de la base debe ser congruente con los k de los sobates que vamos a intercambiar, y noto que por cada ves que sucede esto puedo construir p-1 casos que no sirven y concluyo en que de los (n en k)(n en k) que formo intercambiando k elementos, solo (n en k)(n en k)/p funcionan, (para 1<=k<=p-1), y falta contar cuando no cambiamos ninguno, y cunado cambiamos todos, que son el subonjunto base y el sobrante. y de ahi me da el resultado.
Daniel,
Lo que te salió de respuesta es la respuesta para cuantos subconjuntos de p elementos cumplen que su suma es múltiplo de p.
eso es lo que pedia no?
Jajaja, si es cierto, eso es lo que pedía. Yo lo leí mal y busqué cuántos subconjuntos en general, sin la restricción de "con p elementos"
Esta padre la solución Daniel. Al principio no la había entendido bien, pero llevaba rato tratando de encontrar una solución combinatorica a este problema y tu solucion finalmente la da. Buen trabajo.
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