miércoles, 19 de mayo de 2010

Problema de Polinomios

Problem a 1
Posted by Carlos at 4:04 p.m.

6 comentarios:

Carlos dijo...

Lastima que la calidad no es la mejor. Pero creo que se entiende el problema. No es un problema muy dificil pero es util saber este problema para resolver otros mas dificiles.

19 de mayo de 2010, 4:38 p.m.
Enrique Treviño dijo...

Ya me salió. Esta chida. Una cosa útil que sale inmediatamente es que si P(x) = ax^2 + bx + c tal que P(n) es entero para toda n suficientemente grande, entonces 2a es entero, (a+b) es entero y c es entero.

21 de mayo de 2010, 11:20 a.m.
Carlos dijo...

Creo que tu solucion es distinta a la mia. Pero ningun participante lo resolvio.

21 de mayo de 2010, 4:22 p.m.
Enrique Treviño dijo...

Pues no escribi nada acerca de mi solución. Lo que escribi de un polinomio de grado dos, es una consecuencia del problema, no es algo que haya usado en la demostración.

Mi solución es así:
Paso 0: Hacer el caso constante y el lineal. Asumir que cumple para deg(P(x)) = k-1 y para todos los grados anteriores.
Paso 1: Si P(x) es de grado k entonces lo podemos escribir como c_k(x en k) + ... +c_1(x en 1) + c_0, donde los c_i son racionales. Lo que queremos demostrar es que son enteros.

Paso 2: Demostrar que c_0 es entero.

Paso 3: Considerar g(x) = p(x+1) - p(x). g(x) tiene grado k-1. Así que usando hipotesis de inducción se puede escribir de la manera que queríamos.
Combinando esto con lo anterior terminamos el problema.

21 de mayo de 2010, 5:06 p.m.
Carlos dijo...

oh es una consecuencia, si. Tambien es se puede decir que si es entero para n suficientemente grande es entero para toda n. Me gusto tu demostracion por que yo lo intente por induccion pero no me salio :(

Yo lo hize construiendo los coeficientes por iteracion. usando el hecho de que el polinomio (x en k) toma los valores de 0 para x entero menor a k y 1 para k.

Primero assumes que es entero para n mayor o igual a cero entonces el primer coeficiente es p(0).

despues los llamale a_0 al polinomio constante p(0)

construye a_n= a_{n-1}+ (p(n)-a_{n-1}(n))(x en n) y ve que el polinomio a_n tiene los mismos valores que p para los primeros n+1 numeros (incluyendo cero) entonces a_r es igual a p y se ve que a_r es de la forma que queremos.

21 de mayo de 2010, 8:12 p.m.
Enrique Treviño dijo...

Tu post me confunde porque dices "para los primeros n+1" numeros, pero definiste a_n en terminos de n. Quizas cambiar algunas n's por k's lo haria un poco mas claro.

22 de mayo de 2010, 12:07 a.m.

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