miércoles, 26 de mayo de 2010
Problema del día: 26 de mayo
Sea S un conjunto de 2004 puntos en el plano, no tres de ellos colineales. Sea L el conjunto de todas las líneas (extendidas indefinidamente en ambas direcciones) determinadas por parejas de puntos de S. Demuestra que es posible colorear los puntos de S con a lo más dos colores, tal que, para cada puntos p y q de S, el número de líneas que separan a p de q es impar sí y solo sí p y q tienen el mismo color.
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10 comentarios:
¿Qué significa el número de líneas que separan a p y q?
Mi interpretación es la siguiente, dime si está bien:
Consideramos la línea que conecta a p y q, llamemosla l. El número de líneas que separa a p y q es el número de líneas que intersecta a l entre p y q.
Esta bien el problema?, porque segun yo, llego a una contradicción
Si está bien el problema, ya tengo la solución. En un ratito la publico.
@Quique: Una línea que separa a p de q es una tal que p y q quedan en diferentes lados de la línea, coincide con la que tu dices.
@Daniel: Está bien.
Este problema ya lo habia visto, creo que esta en una revista tzaloa, vi la solucion aunque ya no me acuerdo muy bien.
claro, ya vi mi error.
Solucion:
Sean A,B,C tres puntos de S y nos fijamos en el tiangulo que foman, es conocido que cualquier linea fomada por dos puntos de S distindos de A, B o C intersecta a dos de los lados del triangulo o a ninguno(en cualquier caso a una cantidad par), ahoa nos fijamos en un punto K distindo de A,B o C y vemos las lineas AK,BK,CK notamos que si K esta dentro del triangulo cada linea intersecta al lado fomado por los otros dos puntos(AK a BC y analogamente) y si esta afuera solo una de las tres lineas intersectara al otro lada(si K esta en el arco BAC o en el arco formado por los rayos BA y CA entonces AK intersecta a BC, pero BK y CK no intersectan a ninguna lado. en ambos casos intersecta a una canidad impar, y como hay 2001 de estas lineas, entonces como hay una cantidad impar de impares mas una cantidad par, en total habra una cantidad impar de lineas que intersectan a los 3 las y porlo tanto si a dos de los lados los intersectan una cantidad impar de lineas, al tercero tambien.
Ahora nos tomamos un punto J y coloreamos del mismo color a J y a todos con los puntos Xi tales que la recta JXi intersecta a una cantidad impar de lineas de L y a los demas de otro color. supongamos que hay un punto Y (de distinto color del punto J) tal que YXi intersecta a una cantidad impar entonces como JXi tambien intersecta una cantiidad impar YJ intersecta una cantidad impar, pero es una contradicción. por lo tanto esa cooracion funciona.
Creo que mi solución no es muy clara, pero se me hace tedioso tener que escribirla en la compu.
@Daniel
Si se te hace tedioso escribir a compu te sugiero varias opciones, utilizar word y su editor de formulas y guardarlo en un pdf o un doc que puedes subir a traves de alguna pagina en la que puedas subir documentos como google docs, tambien puedes usar latex.
Tambien puedes guardarlo como imagen y subirlo en un nuevo post o mandar el link de la imagen a traves de un comentario.
Tambien puedes hacerla a mano y escanearlo o tomarle foto y subir la imagen.
Espero que batalles menos para subir tus soluciones en un futuro.
me agarada la idea de hacerla a mano y luego escaneala, hare eso la proxima solución
Hola, ya tengo la solucion del problema, pero no se como se suben las imagenes y las ecuaciones, lo hice en Word, pero no me permite subirlo.
Puedes usar google docs.
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