Este es un problema de nivel IMO.
Sean a y b dos enteros postitivos que son primos relativos y tambien a-b es impar.
Si S es el conjunto con la propiedad de que a y b estan en S y que si x,y,z estan en S entonces x+y+Z esta en S.
Demuestra que todo entero mayor a 2ab esta en S
miércoles, 26 de mayo de 2010
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3 comentarios:
x,y,z distintos? Si son distintos entonces qué pasa cuando los únicos números en S son a y b?
No el problema no dice que son distintos.
Pues segun yo ya me salio pero no estoy seguro por que me salio la cota un poco holgada.
Es conocido que si c>=(a-1)*(b-1), (a,b)=1, entonces c puede ser escrito como
combinacion lineal positiva de a y b. Es decir, c = ax+by con x,y>=0
ahora veamos que si k esta en S entonces k+2a y k+2b estan en S, y tambien
k+2ax+2by esta en S con x,y>=0
como a y b estan en S entonces todos los numeros de la forma
a+2ax+2by y los de la forma b+2ax+2by estan en S.
a+2(ax+by)
b+2(ax+by)
entonces tomemos un c>=(a-1)(b-1) entonces
a+2c y b+2c estan en S, por que c se puede escribir de la forma ax +by con x,y>=0
ademas como a-b es impar entonces uno de a y b es impar y uno de a y b es par.
supongamos sin perdida de generalidad que a es impar y b es par.
entonces todos los numero impares de la forma a+2c con c>=(a-1)(b-1)
entonces todos los impares mayores o iguales a a+2(a-1)(b-1) estan en S
y todos los pares mayores o iguales a b+2(a-1)(b-1) estan en S
ahora veamos que los impares mas grandes o iguales a a+2ab-2b-2a+2 estan en S
y los pares mayores o iguales a b+2ab-2b-2a+2 tambien.
entonces los impares >= 2ab-2b-a+2 y todos los pares >= 2ab-b-2a+2
pero b y a >=1 entonces 2ab-2b-a+2<2ab y 2ab-b-2a+2<2ab entonces todos los numeros
(impares y pares) mayores o iguales a 2ab estan en S, que es lo que queria demostrar
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