Primero, es conocido que H_1 está sobre el circuncírculo de ABC, entonces ACBH_1 es un cuadrilátero cíclico ortodiagonal. Sean M_2, M_3 y M_4 los puntos medios de BH_1, AH_1 y BC, respectivamente. Sea S el punto de intersección de MM_2 con M_3M_4. Tenemos que MM_3M_2M_4 es un rectángulo, ya que M_2M_4 y MM_3 son paralelas a CH_1 por ser los puntos medios de los lados; M_2M_3 y MM_4 son paralelas a AB, además AB y CH_1 son perpendiculares. Llamemos Z al rectángulo anteriror.
Por otra parte, como ACBH_1 es ortodiagonal se tiene que M_2C_1 es perpendicular a AC, así que M_2, C_1 y Q son colineales. De manera análoga M_4, C_1 y P son colineales, al igual que M_3, C_1 y R.
Voy ahora a mostrar que P, R y Q están sobre la circunferencia X circunscrita a Z. Los ángulos M_4RM_3 y M_4MM_3 son rectos, así que M_4RM_3M es cíclico y por lo tanto R está sobre X. De igual manera P y Q están sobre X porque PM_4MM_3 y QM_2M_3M son cíclicos. Entonces el circuncentro de PQR es S y como S es punto medio de MM_2, entonces M_2=M_1.
2 comentarios:
Mmm, tengo problemas ajustando el tamaño de la figura, ahora lo corrijo...
Bueno, si le dan click a la imágen ya se ve bien.
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