Examen # 2: Competencia de Invierno 2010-2011

Problema 1.- Un triángulo equilátero $ABC$ está inscrito en una circunferencia. Una segunda circunferencia es tangente interiormente a la primera en $T$ y tangente a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Si $AB=12$, ¿cuánto mide $PQ$?

Problema 2.- ¿Cuántos $n\in \mathbb{N}$ menores que 1000 cumplen que si $n=p_{1}p_{2}...p_{k}$ con los $p_{i}$ primos no necesariamente distintos, entonces $n$ divide a $(p_{1}+1)(p_{2}+1)...(p_{k}+1)$?

Problema 3.- Considere 6 puntos sobre una circunferencia. ¿Cuál es el máximo número de cuerdas que pueden trazarse entre esos puntos de manera que no haya 4 de ellos que determinen un cuadrilátero con todos sus lados y diagonales trazadas?

Problema 4.- Usando las letras  E, I, L,N, S exactamente una vez formamos palabras de 5 letras. Si todas estas palabras son puestas en orden alfabético, la palabra NIELS ocupara el lugar numero ?

Problema 5.- El producto de 3 enteros positivos consecutivos es 8 veces su suma. Encontrar la suma de sus cuadrados.

Problema 6.- Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sobre sus lados se construyen exteriormente cuadrados $ABC_{1}C_{2}, BCA_{1}A_{2}$ y $CAB_{1}B_{2}$. Encuentra la razón entre las áreas de los triángulos $A_{1}B_{1}C_{1}$ y $ABC$.

 Problema 7.-  Sea $n=2^{31}3^{19}$. ¿Cuántos divisores positivos de $n^2$ son menores que $n$ pero no dividen a $n$?

Problema 8.- Sea $T=(a,b,c)$

. Decimos que $T$“es un triángulo” si existe un triángulo de longitudes $a,b,c$ satisfaciendo $a\ge b\ge c>0$.

Definimos $T^2=(a^2,b^2,c^2)$, $\sqrt{T}=(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$ . Considere las siguientes afirmaciones:

1.- Si  $T$es un triángulo equilátero,  $T^2$es equilátero.

2.- Si  $T$ es un triángulo rectángulo,  $T^2$es un triángulo.

3.- $T^2$ 

es un triángulo si y sólo si  es un triángulo acutángulo.

4.- $\sqrt{T}$ 

siempre es un triángulo para todo triángulo $T$.

5.- Si  $T$ es un triángulo entonces los ángulos de 

$\sqrt{T}$

 son agudos.

¿Cuántas de las afirmaciones anteriores son verdaderas?

Problema 9.- En un plano hay un cangrejo en el punto (0,0). En cada paso el cangrejo puede moverse una unidad hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. Si el cangrejo da 10 pasos, ¿en cuántos puntos distintos del plano puede quedar al final?

Problema 10.- Las longitudes de los lados de un triángulo son 3, 6 y 7. Tomando los vértices como centros, se trazan tres círculos tangentes exteriormente dos a dos. Determina la suma de las áreas de los círculos.

Problema 11.- Pedro, Ana y Julián eligen cada uno tres enteros del conjunto {1,2,…,9} sin repetir. Pedro tomó tres números consecutivos cuyo producto es 5 veces su suma. Ana no tiene ningún número primo pero sí tiene dos enteros consecutivos y el producto de sus números es 4 veces su suma. ¿Cuál es el producto de los números que tiene Julián?

Problema 12.- Sean $a,b,c,d,e,f,g$ y $h$ elementos del conjunto $\{-7,-5,-3,-2,2,4,6,13\}$, todos distintos. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $(a+b+c+d)^2+(e+f+g+h)^2$ 

Problema 13.- Sea ABC un triángulo acutángulo. Sean H,G,M los pies desde la altura, la bisectriz y la mediana desde A. Se sabe que HG=GM, AB=10, AC=14. ¿Cuál es el área del triángulo ABC?

Problema 14.- Los lados de un triangulo tienen longitudes    , donde  es un entero. Para cuantos valores de  el triangulo es obtuso?

Problema 15.- Las raíces del polinomio $x^2+mx+n$ son el doble de las raíces de $x^2+px+m$ y ninguno de los números $m,n$ y $p$ es cero. Calcula $n/p$.