miércoles, 12 de enero de 2011
Problema del día: 12 de Enero de 2011
Existirán 100 enteros positivos, todos ellos menores que 25000, de tal forma que la suma de cada par de ellos es un numero distinto?
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18 comentarios:
par distinto o cualquier par?
Todas las posibles sumas de 2 de ellos dan números distintos
Nadie todavía? Ningún avance?
pues como que ni idea, el problema es que ni es obvio que si ni es obvio que no, aunque parece que la respuesta es no.
Intenté un tiempo demostrar que es falso, pero comienzo a creer que es posible, y es atacando al problema en (mod250) y (mod100)
Hint: Si es posible
lo sabía XD
Cual crees que es el primer termino de Fibonacci que se pasa de 25000?
sí, yo también pensé en fibonacci, pero cerrando la fórmula el termino 100 ya se ve muy grande. De hecho el termino 15 es =987 (casi 1000) así que el término 50=15+25 será seguramente más grande que 25000
Bueno, sabemos que no debe haber dos pares de números en la misma progresión aritmética, ya que en caso contrario si los números son, a, a+d, b y b+d, entonces a+(b+d)=b +(a+d)
pero podemos tomar 3 números en suceción aritmética y no pasa nada, mientras no incluyamos ningun otro número con esa suceción ni otros dos números que formen esa suceción
Creo que lo escribí confuso, quise decir, que la diferencia entre los términos sea la misma, no que sean la misma suceción
Y uno de los conjuntos de numeros que salen si intentamos aplicar eso, es fibonacci, pero claramente los numeros al final son muy grandes...
Yo también intenté Fibonacci y vi que por ejemplo si haces la suma 25000+24999=49999 ninguna otra pareja de números va a dar la misma suma porque 25000 es el máximo número posible, y es lo mismo que si sumaras 1+2=3, ya que en este caso tampoco hay otra pareja que suma 3. Entonces como que puedes hacer Fibonacci "para atrás" comenzando desde el 25000 luego con 24999, luego 24998, 24996, 24993,24988,... pero aun combinando Fibonacci para atrás y para adelante (1,2,3,5,8,...) la serie sigue siendo muy grande.
No tengo la demostración, pero igual alguien quizá lee lo que intenté y le de alguna idea.
*Primeramente, es fácil mostrar que no puede haber dos términos iguales, para ello decimos que a=b, y tomamos un c distinto de ellos, entonces el par a,c y el par b,c suman lo mismo.
Ahora, mi idea fue pensar que entre 250k+1 y 250(k+1) hay siempre un término par todo $k=\left\{ 0,1,...,99\right\}$. Llamé $a_{1},a_{2},...,a_{100}$ a nuestros números que cumplen.
Ahora: $a_{i}=f\left(i\right)+g\left(i\right)+h\left(i\right)$ con $i=\left\{1,2,...,100\right\}$.
Definí:
$f\left(i\right)=250(i-1)$
$g\left(i\right)=2^{k_{i}}$, donde $k_{i}\equiv i(mod.8)$ y además $0\leq k\leq7$
$h\left(i\right)$ es una función tal que para i impar, tenemos que $h(i)=\frac{i-1}{2}$; y para i par, tenemos que $h(i)=100-\frac{i}{2}$.
Sí hay varios términos que no funcionan, a ver si les es de ayuda.
Ya lo estuve intentando un buen rato... Pero no se me ocurre nada bueno... La cota de 2500 es muy fuerte... Algún hint??
En vez de pensar en el 25,000, como $100^2$=10,000; intenten algo general para $2n^2$
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