viernes, 28 de enero de 2011

Problema del día 28 de Enero-NUM

Sean $x,y,z\in \mathbb{N}$. Encuentra todos los enteros que se pueden representar como
\[ \frac{(x+y+z)^2}{xyz}\]
Posted by Unknown at 4:44 p.m.
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6 comentarios:

Anónimo dijo...

(parte 1 de 2):
Supongamos sin pérdida de generalidad que z\geq y\geq x. Dividamos el problema en casos, veamos qué pasa si z>3 de aquí que xyz>3x^{2} y 3y^{2}\leq3xyz por lo tanto 3x^{2}+3y^{2}<4xyz. Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}<4xyz\Rightarrow\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xyz}=\frac{x^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{y^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{z^{2}}{\frac{xyz}{3}}<12 y por la útil tenemos que 12>11\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}.

Ahora veamos qué pasa si z=1, claramente como z\geq y\geq x entonces x=y=z=1 y nos da 9 como resultado. Si z=2 entonces puede que x=y=1 y el resultado es 8 ó y=2 y por lo tanto 4\mid(x+y+z)^{2} por lo que x es par y entonces x=2 pero no nos da resultado entero así que no lo tomaremos en cuenta. Si z=3 entonces como 3\mid(x+y+z)^{2} entonces x+y\equiv0(mod3)de modo que y=2 y x=1y de esto obtenemos como resultado 6 ó x=y=3 en cuyo caso nos da 3 de resultado.

Primero veamos que si (x,y,z)=d\neq1y se cumple que \frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}=k donde k\in\mathbb{N}, entonces se cumple también que \frac{(\frac{x}{d}+\frac{y}{d}+\frac{z}{d})^{2}}{\frac{xyz}{d^{3}}}=kd.

Supongamos que11=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}. De aquí que 11\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow11\mid x+y+z pero además, por lo anterior, ya sea que 121\mid(x+y+z)^{2} y x, y ó z es múltiplo de 11 y z\geq11 y si analizamos correctamente podemos ver que xyz>6x^{2} y 6y^{2}\leq6xyz por lo tanto 3x^{2}+3y^{2}<\frac{7xyz}{2}. Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}<\frac{7xyz}{2}\Rightarrow\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xyz}=\frac{x^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{y^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{z^{2}}{\frac{xyz}{3}}<\frac{21}{2} y por la útil tenemos que \frac{21}{2}>10\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz} . Por lo que el 11 no se puede hacer.

De manera similar vemos qué pasa si 10=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}. De aquí que 2\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow2\mid x+y+z y también vemos que 5\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow5\mid x+y+z. Por lo que al menos uno de x, y, z es par, y sólamente uno, ya que de lo contrario, por nuestra observación de más arriba, también se podría escribir al 20 de esa forma, y no es cierto. De la misma manera, hay al menos un múltiplo de 5 y sólamente uno. Si x+y+z=10 notamos que entonces xyz=10 por lo que o z=10 y x=y=1 pero no se cumple lo que queremos, la otra opción es que z=5, y=2 y x=1 pero tampoco se cumple, por lo que six+y+z=10 no se puede. Six+y+z=20 entonces xyz=40 por lo que el número par es múltiplo de 8, otro puede ser 5 y el otro 1 pero no se cumple, pero si z=40 y y=x=1 tampoco por lo que x+y+z=20 no cumple.

30 de enero de 2011, 11:02 a.m.
Anónimo dijo...

(parte 2 de 2)
Si x+y+z=30 y xyz=90=2\cdot3^{2}\cdot5 por lo que z\geq10 sólo que los 3 no pueden ser 10 \therefore z\geq15 puesto que es el menor divisor de 90 mayor que 10 y si la suma de los tres aumenta, esto permanece siendo verdad por argumentos muy similares. Con esto vemos que xyz\geq15x^{2} y 15y^{2}\leq15xyz por lo tanto 3x^{2}+3y^{2}\leq\frac{16xyz}{5}. Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}\leq\frac{16xyz}{5}\Rightarrow\frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xyz}=\frac{x^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{y^{2}}{\frac{xyz}{3}}+\frac{z^{2}}{\frac{xyz}{3}}\leq\frac{48}{5} y por la útil tenemos que \left[\frac{48}{5}\right]=9\geq\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz} ya que tiene que ser entero, por lo que el 10 es imposible de hacer de esta forma.

Supongamos que 7=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz}. Para esto veamos algo interesante y de gran utilidad: como ningún múltiplo de 7 se puede formar entonces (x,y,z)=1 (por nuestra observación de más arriba) pero si uno es múltiplo de p para todo primo p, los desordenamos y suponemos que p\mid z entonces p\mid(x+y)^{2}\Rightarrow p\mid x+y pero no sólo eso, sino que como (x,y,z)=1 entonces p es un primo excusivo de z, por lo que en realidad todos deben ser coprimos: (x,y)=(x,z)=(y,z)=1. Entonces si suponemos que están desordenados y que 7\mid z\Leftrightarrow7r=z para algún r\in\mathbb{N} entonces sabemos que 49xyr=(x+y+7r)^{2}\Leftrightarrow7\sqrt{xyr}=x+y+7r\therefore xyc es un cuadrado perfecto, pero no sólo eso sino que como son coprimos 2 a 2, cada uno es un cuadrado perfecto por lo que x=a^{2}, y=b^{2} y r=c^{2}. De aquí podemos ver que 7abc=a^{2}+b^{2}+7c^{2}. Pero los residuos cuadráticos módulo 7 son 1,4 y 2 y no hay dos de ellos cuya suma sea múltiplo de 7 por lo tanto, no se puede formar al 7 de esta manera.

Sea f(x,y,z)=\frac{(x+y+z)^{2}}{xyz} veamos que todos los números del 1 al 9 exceptuando el 7 se pueden formar:

f(1,1,1)=9, f(3,3,3)=3, f(9,9,9)=1, f(1,1,2)=8, f(2,2,4)=4, f(4,4,8)=2, f(1,4,5)=5 y finalmente f(1,2,3)=6 por lo que hemos acabado.

NOTA: Esto está en LyX así que tal vez tengan algunos problemas leyéndolo, lo lamento...

30 de enero de 2011, 11:04 a.m.
Georges dijo...

Hola Jorge:

Es un poco complicado leer tu solución. ¿Como se puede leer ese formato?

Creo que tiene un error tu solución, en la primera parte tu escribiste:

"Como z\mid(x+y+z)^{2}\Rightarrow z\mid(x+y)^{2} y como todos son naturales, z\leq(x+y)^{2}\leq2x^{2}+2y^{2} por reacomodo. De aquí que x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq3x^{2}+3y^{2}"

Probaste que z es menor o igual a 2x^{2}+2y^{2}, y luego usaste que z^2 es menor o igual a 2x^{2}+2y^{2}, pero z^2 es mayor que z, asi que como sabes que la ultima desigualdad es cierta???

31 de enero de 2011, 5:21 p.m.
Anónimo dijo...

Cierto, creo que no lo vi bien

31 de enero de 2011, 6:36 p.m.
Unknown dijo...

@Chuck: ¿podrías poner lo que está en LaTeX entre signos de pesos? Es que es un poco tedioso leer tus soluciones como las dejas jeje

31 de enero de 2011, 10:14 p.m.
Unknown dijo...

¿Qué pasa? ¿No ha salido? Bueno, ahí les va una sugerencia...

SUGERENCIA: supón que $m$ se puede escribir como queremos, entonces mostrar que existen enteros $x,y,z$ tales que cualquiera de ellos es menor o igual que la suma de los otros dos y
\[m= \frac{(x+y+z)^2}{xyz}\]

6 de febrero de 2011, 6:58 p.m.

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