viernes, 21 de enero de 2011

Problema del Dia (viernes 21 de enero - NUM)

Demuestra que para todo entero positivo $n$, el número $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$ no es primo.
Posted by Enrique Treviño at 12:43 a.m.
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10 comentarios:

Unknown dijo...

Sea $A=10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$
Sea $n=2^k I$ donde $I$ es impar. Sea $m=10^{2^k}+1$.Tenemos que $10^n\equiv 10^{2^k I} \equiv {10^{2^k}}^I\equiv (-1)^I\equiv -1$ $mod$ $m$.
$2^(k+1)|10^(k+1)|10^{2^k}|10^{2^k I}$ entonces $10^n=2^{k+1} r$
$10^{10^n}\equiv {10^{2^k}}^{2r} \equiv (-1)^{2r}\equiv 1$ $mod$ $m$.
$2^{k+1}|10^{k+1}|10^{10^{2^k}}|10^{10^n}$. $10^{10^n}=2^{k+1} u$ entonces
$10^{10^{10^n}}\equiv {10^{2^k}}^{2u} \equiv (-1)^{2u}\equiv 1$ $mod$ $m$.
Porlotanto $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1\equiv 1+1-1-1\equiv 0$ $mod$ $m$.
Tenemos que $m|A$, $m\geq 2$, $m<A$ porlotanto $A$ no es primo

21 de enero de 2011, 1:17 a.m.
Enrique Treviño dijo...

Bien hecho Diego. Mi solución es la misma.

21 de enero de 2011, 10:18 a.m.
Anónimo dijo...

sea n = 2^k*r con r impar demostremos que 10^(2^k) + 1 = d divide a 10^(10^(10^(2^k*r))) + 10^(10^(2^k*r)) + 10^(2^k*r) - 1 = S

10^(2^k*r) = (d-1)^r = (-1)^r(mod d)
y como r es impar (-1)^r=-1(mod d)

10^(10^(2^k*r))=10^(2^(2^k*r)*5^(2^k*r)) = 10^(2^k*2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r))
como
2^k*r>k, 2^(2^k*r - k)>=2 y es entero de modo que
10^(2^k*2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r))= (10^(2^k))^(2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) = (-1)^(2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) (mod d)
y como (2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) es par
(porque 2^(2^k*r - k)>=2 y es entero)
(-1)^(2^(2^k*r - k)*5^(2^k*r)) = 1 (mod d)

De manera similar
10^(10^(10^(2^k*r))) = 10^(2^(10^(2^k*r))*5^(10^(2^k*r))) = 10^(2^k*2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r)))
y como
10^(2^k*r) > k entonces 2^(10^(2^k*r) - k >=2 y es entero por lo que
10^(2^k*2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) = (10^(2^k))^(2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) = (-1)^(2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) (mod d)
y como 2^(10^(2^k*r) - k) >=2 y es entero, es par, por lo que
(-1)^(2^(10^(2^k*r) - k)*5^(10^(2^k*r))) = 1 (mod d)

Si juntamos todo lo de arriba podemos ver que
S=(1)+(1)+(-1)-1 = 0 (mod d)
de modo que d|S y como d<S sabemos que todos los primos que dividen a d, también dividen a S por lo que S no puede ser primo.

21 de enero de 2011, 10:14 p.m.
Enrique Treviño dijo...

Muy bien Jorge 'Chuck'

21 de enero de 2011, 10:40 p.m.
Georges dijo...

Ya me salio pero tengo la misma solucion que Diego, considerar el numero 10^(2^k)+1 donde 2^k es la maxima potencia de 2 que divide a n, y hacer las cuentas para ver que cumple.

24 de enero de 2011, 11:07 p.m.
Flavio dijo...

Supongamos que $2^a$ || n, entonces sea
$k = 10^{2^a}+1$ entonces
$10^{2^a}\equiv -1 \pmod{k}$, luego $2^a \leq n$,
$10^{2^a} | 10^n$ y a $2^{a+1}|10^n$, luego los terminos de la derecha, son potencias pares de $10^k$ entonces son 1 modulo k, luego la suma queda 0 modulo k y k es divisor de ese numero y entonces no es primo.

26 de enero de 2011, 4:39 p.m.
DANIELIMO dijo...

sea n=(2^k)i con i impar y sea x=10^(2^k),
sabemos que k<n, por lo tanto
(2^k)a=10^(10^n) y (2^k)b=10^n, con a, b enteros pares, por lo tanto
10^(10^(10^n))=x^a=1 (mod x+1) y
10^(10^n)=x^b=1 (mod x+1)
y sabemos que x=-1 (mod x+1)
por lo tanto al sumar las 4 potencias nos queda que son divisibles entre x+1 y claramente es un numero mayor, por lo tanto no es primo.

5 de febrero de 2011, 2:18 p.m.
DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
5 de febrero de 2011, 2:19 p.m.
DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
5 de febrero de 2011, 2:20 p.m.
angel95 dijo...

Para n impar se tiene que
los primeros dos sumandos son congruentes a 1 modulo1, y el tercer sumando es congruente a -1 modulo 11, entonces la suma es congruente a 1+1-1-1=0 Modulo11,
entonces supongamos que n es par, sea n=(2^t)I, con I impar, y sea m=(10^2^k) + 1
entonces
10^n==10^((2^t)I)==10^(2^t)^I==(-1)^I==-1Mod m
ademas ya que 10 ^(2^t)/ 10^n, se llegua a que 2^(t+1)/10^n/10^10^n.
usando congruencias se llaga a que
R=(10^10^10^n)+(10^10^n)+(10^n)-1==1+1-1-1==0Mod m, por lo que R no es primo.

6 de febrero de 2011, 8:26 p.m.

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