Examen 8

Problema 1. Sea $S$ el conjunto más chico de enteros con la propiedad de que $0\in S$ y si $n \in S$ entonces $3n$ y $3n+1$ también están en $S$. Determina cuántos enteros no negativos menores que 2008 hay en $S$.


Problema 2. Sea $P$ un polinomio de grado $n$ tal que para k=0,1,2,…,n, P(k)=2^k. Determina el valor de $P(n+1)$.


Problema 3. Cuatro circunferencias de radios iguales $\omega , \omega _A, \omega _B$ y $\omega _C$ se dibujan en el interior de un triángulo $ABC$ de tal forma que $\omega _A$ es tangente a $AB$ y $AC$, $\omega _B$ es tangente a $BC$ y $BA$, $\omega _C$ es tangete a $CA$ y $CB$ y $\omega$ es tangente exteriormente a las otras tres circunferencias. Si los lados de $ABC$ miden 13, 14 y 15, determina el radio de $\omega$.


Problema 4. La función $f$ satisface
\[ f(x)+f(2x+y)+5xy=f(3x-y)+2x^2+1\]
Determina $f(10)$.


Problema 5. Para cada permutación a_1, a_2,…, a_{100} de los enteros 1, 2,…, 100, se considera la suma |a_1-a_2|+|a_3-a_4|+…+|a_{99}-a_{100}|. Encuentra la media aritmética de todas estas sumas.


Problema 6. Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Sea $P$ un punto en el lado $AC$ tal que $AP=2CP$. Si $BP=1$ detérmina el valor máximo del área de $ABC$.

Problema 7. Dado que $2^{2004}$ es un número de 604 dígitos cuyo primer dígito (de la izquierda) es 1, ¿cuántos elementos del conjunto { 2^0, 2^1,…,2^{2003} } tienen primer dígito 4?

Problema 8. Una línea que pasa por un vértice de un triángulo no degenerado corta a éste en dos triángulos semejantes, en los que la razón de semejanza entre los lados correspondientes es $\sqrt{3}$. Determina los ángulos del triángulo original.


Problema 9. Una sucesión de enteros se define como $a_1=a_2=a_3=1$ y para todo entero positivo $n$, $a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n}$. Dado que $a_{28}=6090307$, $a_{29}=11201821$ y $a_{30}=20603361$, encuentra los tres últimos dígitos de a_1+a_2+…+a_{28}.


Problema 10. Sean $a,b,c$ números reales distintos de 0 tales que $a+b+c=0$ y $a^5+b^5+c^5=a^3+b^3+c^3$. Determina el valor de $a^2+b^2+c^2$.


Problema 11. Para un entero positivo $n$ sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Sea S(n) = d(1)+d(2)+…+d(n). Sea $a$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ impar y $b$ la cantidad de enteros positivos $n$ menores que 2006 con $S(n)$ par. Calcula $|a-b|$.


Problema 12. Sea $a_k= \frac{k^2- \frac{1}{2}}{k^4+ \frac{1}{4}}$. Calcula a_1+a_2+…+a_500.


Problema 13. ¿Para cuántos k=0,1,..,2011 se tiene que “combinaciones de 2011 en $k$” ($2011$ en $k$ ) es un número impar?

Problema 14. ¿Para cuántos enteros positivos $n$ es posible partir el conjunto { n, n+1,…, n+8 } en dos conjuntos $A$ y $B$ tales que el producto de los elementos de $A$ es igual al producto de los elementos de $B$?


Problema 15. Encuentra todos los reales $x$ que satisfagan $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x+1} =0$.