Problema del dia, Algebra

Muestra que si $0 < r < 1$ y si los numeros complejos $z_1$, $z_2$, $z_3$, $\dots$, $z_n$ estan en el disco $D=\{z : \vert z \vert \leq r\}$, entonces existe un $z_0 \in D$ tal que
$$\prod_{j=1}^{n} (1+z_j) = (1+z_0)^n.$$

Problema del día 29 de Agosto.

Sea $D$ el punto medio de la base $AB$ del triángulo isósceles acutángulo $ABC$. Elegimos un punto $E$ en $AB$, y sea $O$ el circuncentro de $ACE$. Demuestra que la línea por $D$ perpendicular a $DO$, la perpendicular a $BC$ que pasa por $E$ y la paralela a $AC$ que pasa por $B$ concurren.

¡No me han dicho qué días van a poner sus posts! Si no me avisan en la semana, yo les asigno el día a cada uno.

Geometría

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo con $BC>AC$. Sean $O$ su circuncentro, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $C$. Sea $P$ el punto de intersección de la perpendicular a $OF$ por $F$ con el lado $AC$. Pruebe que $\angle FHP=\angle BAC$.

Problema del día (álgebra): Polinomio irreducible rumano

Demuestra que para todo entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede ser escrito como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Triángulos etiquetados

Un triángulo equilátero se divide en $25$ triángulos iguales etiquetados de $1$ a $25$. Muestra que se pueden encontrar dos triángulos que tienen un lado en común cuyas etiquetas difieren en más de $3$.

Problema del día 22 de Agosto.

Sean $k, t\in \mathbb{N}$, $k,t,\ge 2$, primos relativos. Comenzamos con la permutación $(1,2,...,n)$ y podemos intercambiar de lugar dos enteros si su diferencia es $k$ o $t$. Demuestra que con es posible obtener cualquier permutación de $1,2,...,n$ aplicando cambios permitidos si y sólo si $n\geq k+t-1$.

Entrenamiento para la Ibero

¡Hola a todos! A partir de hoy vamos a retomar el trabajo en el blog para entrenar para la próxima Ibero. El plan es que, como antes, se les ponga a la semana al menos un problema de cada área y que ustedes comenten sus soluciones o lo que llevan del problema. Al parecer funcionó bien la mecánica de que cada uno de los que entrenaron para la IMO pusiera un post cada semana, así que haremos lo mismo en esta ocasión. Entonces, nada más les pido a los cuatro que entre ustedes se pongan de acuerdo qué día quieren y me avisen mañana o pasado. Apenas nos estamos organizando para ver quién les pone problemas cada día, cuando sepa ya bien les aviso.

Y pues, ¡empezamos! ¡Ánimo a todos, recuerden que la meta de este año no es nada menos que la mejor Ibero de la historia de México!

Cuando empezaran a poner problemas?

Sexto entrenamiento - selectivo de ibero

Hola a todos

Les he mandado un correo acerca del siguiente entrenamiento del 11 al 21 de agosto en la UAEM, Cuernavaca Morelos